Desaparición del tensor de Ricci en dimensiones de espacio-tiempo superiores

Question

Desaparición del tensor de Ricci en dimensiones de espacio-tiempo superiores

Física
curvatura
grados de libertad
relatividad general
espacio-tiempo-dimensiones
geometría diferencial

dingo_d

Entiendo cómo, si el tensor de Riemann es 0 en todas sus componentes, ya que construimos el tensor de Ricci contrayendo el Riemann, el tensor de Ricci sería 0 en todas sus componentes también.

He leído que la desaparición del tensor de Ricci en 3 dimensiones del espacio-tiempo implica la desaparición del tensor de curvatura de Riemann , pero eso en dimensiones superiores no se cumple.

¿Alguien puede explicar por qué es así? ¿Es porque tenemos más componentes independientes del tensor de Riemann en 4 dimensiones del espacio-tiempo que en 3 (20 vs 6)?

También si el número de componentes independientes del tensor de Riemann en $n$ dimensiones del espacio-tiempo es

norte (norte) = \frac{{norte}^{2} ({norte}^{2} - 1)}{12}

$N(n)=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$

y dado que sabemos que el tensor de Riemann tiene 256 componentes, ¿eso limita las dimensiones de espacio-tiempo de su uso? ¿O eso significa que, por ejemplo, en 10 dimensiones del espacio-tiempo, no habrá componentes independientes del tensor de Riemann?

Respuestas (2)

Desaparición del tensor de Ricci en dimensiones de espacio-tiempo superiores

jerry schirmer · Answer 1

Entonces, tomemos su fórmula y establezcamos $n=3$ . esto te da $N = \frac{9\cdot 8}{12} = 6$ . Bueno, ¿cuántas componentes independientes del tensor de Ricci tienes? Bueno, dado que es un tensor simétrico de 3x3, tienes seis componentes independientes. Por lo tanto, no hay espacio en el tensor de Riemann para tener componentes adicionales. Desde hace $n > 3$ , siempre tendrás menos componentes del tensor de Ricci que del tensor de Riemann (descubre cuál es la fórmula para las componentes independientes de un simétrico $n\times n$ matriz), para dimensiones más altas, siempre habrá componentes adicionales adicionales.

Entonces, la clave es que en las dimensiones superiores hay más componentes independientes en el tensor de Riemann y, por lo tanto, no puedo 'cubrirlo' con el tensor de Ricci, por lo que incluso si el tensor de Ricci es 0, algunos componentes del tensor de Riemann no serán cero porque de eso ¿Es correcto ese razonamiento?
Sí. Tenga en cuenta que la solución de Schwarzschild es Ricci plana, ya que $T_{ab} = 0$ . Definitivamente no es plano Riemann.

Frederic Brunner · Answer 2

El tensor de Riemann se puede descomponer en una parte traza y una parte sin traza:

R_{a b C d} = C_{a b C d} + \frac{2}{norte - 2} ({gramo}_{a [C} R_{d] b} - {gramo}_{b [C} R_{d] a}) - \frac{2}{(norte - 1) (norte - 2)} R {gramo}_{a [C} {gramo}_{d] b},

$R_{abcd}=C_{abcd}+\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})-\frac{2}{(n-1)(n-2)}Rg_{a[c}g_{d]b},$

donde el objeto sin rastro $C_{abcd}$ es el tensor de Weyl (conforme) y el resto viene dado por el tensor de Ricci y su contracción, el escalar de Ricci, donde $n$ es el número de dimensiones y $g_{ab}$ es la métrica. En tres dimensiones, el tensor de Weyl se anula: esto implica que cuando el tensor de Ricci es cero en todos los componentes, el tensor de Riemann también es cero. Sin embargo, por $n$ mayor que 3, el tensor de Ricci puede ser cero mientras que el tensor de Weyl no se anula.

Desaparición del tensor de Ricci en dimensiones de espacio-tiempo superiores

dingo_d

Respuestas (2)

jerry schirmer

dingo_d

jerry schirmer

Frederic Brunner

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