¿El espacio-tiempo curvo cambia el volumen del espacio?

En una pregunta como esta, debe preguntar a qué cambia el volumen en relación. Así que es un poco ambiguo.

Sin embargo, la respuesta a su pregunta es "sí" en el siguiente sentido restringido.

Imagine tener un "enjambre" de objetos de prueba, con una masa tan pequeña que su efecto en el espacio-tiempo que los rodea es insignificante. Supongamos que están en caída libre, es decir, todas siguen las geodésicas del espacio-tiempo. El enjambre tiene una forma con volumen; supongamos que es una esfera, y que sus caminos geodésicos los llevan a través del espacio-tiempo de curvatura variable. Supongamos también que nuestras abejas espaciales están señalando a su reina para que pueda calcular la distancia con respecto a sus compañeros en todo momento.

Entonces, en general, la reina encontrará que la distancia a sus compañeros cambia siguiendo la ecuación de desviación geodésica (ver también Misner, Thorne y Wheeler, "Gravitación" Capítulo 1 para una gran explicación intuitiva). Entonces ella percibirá un cambio en el volumen de su enjambre.

De hecho, hay un objeto tensor cuyo significado principal es el de cambio de volumen. Si uno escribe las coordenadas del enjambre de la reina en Coordenadas normales de Riemann (ver también la sección 11.6 de Misner Thorne Wheeler), donde la posición de algo se nombra al nombrar un vector de dirección (un vector tangente al espacio-tiempo) y una distancia a lo largo de ese vector , entonces el elemento de volumen$\mathrm{d} V$, en comparación con el elemento de volumen$\mathrm{d} V_f$uno calcularía asumiendo que el espacio-tiempo plano, está definido por el tensor de curvatura de Ricci:

De hecho, uno puede "descomponer" el tensor de curvatura total en expresiones que involucran el tensor de Ricci y el llamado tensor de Weyl. El primero mide cómo cambia el volumen de nuestro enjambre, el segundo nos dice en detalle cómo cambia la forma del enjambre a medida que cae libremente.

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Puedo responder a algunas de ellas, y de tal manera que tiene un significado relativista general invariable. Sin embargo, no es una respuesta general. Tienes que, y puedes, tratar la curvatura y algunas medidas de volumen invariablemente.

Hay dos preguntas. 1) ¿Las curvaturas negativas/positivas tienen más volumen que algunos (en cierto sentido) espacio-tiempo equivalentes sin curvatura? Y 2) ¿Más densidad de energía en un espacio-tiempo causa más curvaturas positivas o negativas? Cubriré ambos.

Para espaciotiempos cosmológicos, es decir, homogéneos e isotópicos, una curvatura positiva tiene volumen finito (la posibilidad topológica más simple es que las hipersuperficies espaciales (es decir, Volúmenes) sean esferas 3D). Los espacios de curvatura negativa y 0 tienen un volumen infinito, y son abiertos e infinitos. Tiene alguna aplicación general porque esos espacio-tiempos son los que tienen una curvatura constante.

Si agregara más materia (o más correctamente si la densidad de la materia fuera mayor que la estimada), tendería a hacer que la curvatura fuera más positiva. Si menos, más negativo.

Entonces uno diría más materia menos volumen, menos materia más volumen.

En términos más generales, la curvatura negativa tiende a hacer que sus geodésicas diverjan y, por lo tanto, abren más espacio. Ver la referencia en

https://amathew.wordpress.com/2013/01/04/volume-growth-and-negative-curvature-i/

Aún así, no he visto un tratamiento general que no sea en espaciotiempos bastante simétricos, y existe cierta preocupación de que la energía que tiene que usar para 'bajar' la masa desde el infinito a algún volumen provoque la inserción de energía negativa (potencial), la energía necesitaba sacarlo hasta el infinito. Así que intuitivamente uno tiene que tener cuidado

Es cierto, por ejemplo, en el siguiente enlace,

http://burro.cwru.edu/Academics/Astr330/Lect02/volume.html

que el volumen de un espacio a una distancia física (calculada usando la métrica ponderando las distancias coordinadas) en los espaciotiempos cosmológicos es mayor para curvaturas negativas que para espacios planos, y ambos más que curvaturas positivas

La siguiente pregunta es si la materia o la energía hacen que un espacio-tiempo (o las secciones del espacio) se curven más o menos positivamente. Incluso en nuestro universo, si no hubiera una constante cosmológica, una materia más una densidad de radiación inferior a cierta cantidad haría que el universo se abriera y el volumen fuera infinito. Y el espacio-tiempo vacío puede tener curvaturas positivas, planas o negativas, por lo que tener más o menos materia no es claramente determinante.

Para otras geometrías, hay varias cantidades que se pueden usar para medir la curvatura, donde hay una serie de invariantes de curvatura. La solución de Schwarzchild (para un espacio esféricamente simétrico) tiene una curvatura (definida como en https://en.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Kretschmann_invariant&redirect=no , la invariante de Kretschmann), que aumenta a medida que cuadrado de la masa, y que es positivo. Por lo tanto, cuanto mayor sea la masa, mayor será la curvatura. Pero tenga en cuenta que, en este caso, cuanto mayor sea la masa, mayor será el radio equivalente de Schwarzschild, y si fuera un agujero negro, mayor sería su horizonte y el área del horizonte.

Hay otras dependencias, que involucran otras partes del tensor de energía de tensión, incluyendo la tensión, el impulso y la presión. Resolver las ecuaciones de Einstein en una caja no es fácil (¿o posible excepto numéricamente?). Sin embargo, existen resultados generales simplemente a partir de la definición de los tensores de Riemann y Ricci de que la tasa de cambio normalizada (por volumen) de la tasa de cambio de volumen (es decir, el doble de la derivada en el tiempo) es proporcional a menos la suma de la densidad de energía y presiones Entonces, si aumentan generalmente, para estos casos algo simples, el cambio de volumen disminuirá a medida que

$\ddot{V}$/V = -{densidad de energía + presión}

Dentro de la métrica de Schwarzschild, el volumen cambia.

Es el rectángulo formado por la dimensión radial y el tiempo el que es invariante: El efecto dilatador de la métrica de Schwarzschild

en comparación con la métrica plana correspondiente

solo impacta en la dirección radial$\mathrm dr$y tiempo$ct,$el resto de la geometría ($\theta$y$\varphi$) permanece sin cambios.

Puedes ver fácilmente que el factor por el cual$\mathrm dr$se multiplica es igual al factor por el cual$c~\mathrm dt$está dividido. El factor

es igual a la dilatación del tiempo gravitacional.

En consecuencia, el rectángulo formado por la dimensión radial y el tiempo conserva su superficie en la geometría de Schwarzschild.

Si ahora considera las dimensiones adicionales, verá que el volumen del espacio-tiempo debe haber cambiado. Si agrega, por ejemplo, una dimensión, obteniendo un cilindro, el volumen 3D es$\pi r^2 t$, eso significa que una dimensión radial reducida r está apareciendo al cuadrado, mientras que la dimensión temporal sigue siendo la misma.

Bien, no puedo mostrar las matemáticas, pero cualquier cosa que intente encajar dentro de la caja, se curvará/estirará/contraerá junto con el espacio. Por lo tanto, no debería poder colocar más cosas dentro de una caja en comparación con otra del mismo tamaño. Incluso decir mismo tamaño implica espacio y su curvatura. Por lo tanto, incluso su caja será curva, ya que no hay nada que no se curve a lo largo del espacio. Solo habrá una diferencia entre los dos casos, y eso se da en su pregunta: la de la masa y la gravedad.

Considere colocar más cosas en una caja mientras se encuentra dentro de un campo gravitatorio intenso. Ahora mueva la caja completa a un campo gravitacional menos intenso. ¿Va a explotar? ¿Se va a filtrar el material?

Sí, el espacio-tiempo curvo cambia el volumen del espacio. Cuando el espacio está curvado por la masa, se estira más en algunas dimensiones que en otras. Imagina un globo que se estira o se aprieta: el volumen cambia.