¿Qué es la curvatura intrínseca?

¿Qué significa decir que el espacio-tiempo es curvo?

Mi intuición me sugiere que cada vez que tenemos una norte objeto curvo dimensional hay un espacio plano m dimensional en el que el objeto está incrustado, donde metro > norte .

Por ejemplo una esfera es curva pero entendemos que en relación a su incrustación en R 3 .

Pero aprendí que una esfera tiene una curvatura intrínseca , es decir, una criatura 2d en una esfera 2d aún puede descubrir que una esfera es curva. Pero no entiendo lo que eso significa. Si tal criatura sabe que la esfera es curva, ¿puede deducir que debe estar en un mundo tridimensional?

Dado que nuestro espacio-tiempo es curvo, ¿está incrustado en más de 4 dimensiones? ¿Qué es exactamente la curvatura intrínseca? ¿Hay una intuición para ello? ¿Está conectado a la curvatura extrínseca de alguna manera?

Suponga que su criatura 2D puede marcar un triángulo y medir sus ángulos. Si los ángulos suman 180 grados, entonces la criatura puede concluir que su universo 2D es plano. Si suman más de 180 grados, entonces el universo 2D (también conocido como múltiple ) tiene una curvatura positiva (como una esfera) en la vecindad cercana, y si suman menos de 180, entonces el espacio local es negativamente curvo (p. ej., como una punta de silla de montar ). La criatura no necesita mirar fuera de su espacio 2D para sacar esas conclusiones.
He agregado más a mi respuesta. Pero sugiero que intentes leer y comprender realmente las respuestas que has obtenido hasta ahora. Ellos responden a esta pregunta.

Respuestas (4)

Este es un concepto difícil. Estoy de acuerdo. Actualmente no tenemos evidencia que sugiera que nuestro universo de 4 dimensiones está incrustado en algún espacio dimensional superior.

Para una esfera incrustada en un espacio tridimensional, puede optar por utilizar geometría intrínseca o extrínseca. Ambos te darán las mismas medidas.

Pero en nuestro universo, no hay un espacio de incrustación de dimensiones superiores al que podamos referirnos. Así que estamos atascados con la geometría intrínseca. Lo que pienso al respecto es esto: realmente no hay ninguna razón por la que deba ser cierto que, por ejemplo, un triángulo tiene ángulos interiores que suman 180 o o que el producto escalar de los vectores base es cero. Cualquiera de estos elementos geométricos que son postulados en la geometría euclidiana no son verdades inherentes sobre el Universo. Son justo lo que vemos en nuestra experiencia diaria. Es decir, en cierto sentido se descubren empíricamente.

Entonces, ¿cómo descubres empíricamente la geometría intrínseca? Mide ángulos, mide productos escalares y ve cuáles son los valores. Si esos valores son los que obtendrías con un espacio plano, estás en un espacio plano. Si son lo que obtendrías en un espacio curvo, bueno, estás en un espacio curvo. Puedes considerar esto como la definición de un espacio curvo. No tienes que imaginar el espacio doblado hacia otro espacio. Solo que en nuestro espacio, medimos productos de puntos de vectores base para tener algún valor distinto de cero.

En respuesta a su edición:

Específicamente y por definición, lo que significa que un espacio sea intrínsecamente curvo, como dicen todas estas respuestas, es que cuando tomas medidas geométricas, no salen como predice la geometría euclidiana.

Lo llamamos "curvatura" porque funciona exactamente como la curvatura. Los ángulos y las distancias medidas son exactamente lo que serían si el espacio fuera curvo. No asumimos un espacio de incrustación porque no lo necesitamos para obtener las respuestas correctas. Entonces, ¿por qué agregar algo a la teoría que no se puede observar?

La curvatura intrínseca y extrínseca están conectadas porque ambas hacen las mismas predicciones. La forma en que haces los cálculos es un poco diferente. Si no existe en el espacio de incrustación, entonces no puede usar las herramientas de curvatura extrínseca para tomar medidas. No tienes más remedio que medir las cosas intrínsecamente.

A menos que puedas observar el espacio incrustado, entonces no, no puedes deducir que existes incrustado en un espacio superior. Esa es una suposición que no se puede probar.

Pero, ¿qué tiene eso que ver con la curvatura tal como la pensamos normalmente?
Porque esa es la misma firma de curvatura cuando observamos una curvatura extrínseca. Lo que hemos descubierto es que, en la superficie de una esfera, los productos escalares de los vectores base son diferentes de lo que son en el espacio euclidiano. Entonces, si medimos eso en nuestro espacio, decimos que nuestro espacio es curvo.
Soy incapaz de imaginar una cosa curva que no tenga nada alrededor .
Creo que nadie es capaz de imaginar eso.
Entonces, ¿cómo podemos estar seguros de que la curvatura intrínseca es lo mismo que la curvatura extrínseca? ¿La curvatura intrínseca es realmente curvatura? ¿Cómo podemos saber
Porque así es como definimos la curvatura. Si todo se comporta exactamente como lo haría si el espacio fuera curvo, ¿por qué no llamarlo curvo? Tampoco puedo imaginar un cubo de 4 dimensiones. Pero podemos describirlo matemáticamente. ¿No deberíamos llamar a eso un cubo porque no podemos imaginarlo en nuestras mentes?
Solo haré una pregunta final. Si en realidad estuviéramos incrustados en un espacio dimensional superior, ¿podríamos obtener las mismas ecuaciones de GR?
Puede usar los métodos de geometría intrínseca incluso si conoce un espacio incrustado, así que sí.
¿Usando el método de curvatura extrínseca? ¿Se puede usar la curvatura extrínseca en algún espacio para derivar GR?
Esta es una pregunta separada, por lo que debe publicar una nueva pregunta para ella. Pero recuerda, el objetivo de la ciencia es que describamos lo que observamos. No observamos un espacio de incrustación. Así que no lo incluimos en una teoría.

La curvatura extrínseca se refiere a incrustar un espacio en un mayor número de dimensiones. La curvatura intrínseca se refiere a los teoremas geométricos que pueden probarse dentro del espacio, sin referencia a nada exterior. Por ejemplo, los ángulos de un triángulo pueden no sumar 180 ∘ . Las dos definiciones de curvatura son distintas. Una esfera tiene curvatura tanto intrínseca como extrínseca, pero se puede hacer un cilindro enrollando una hoja plana de papel, sin distorsión de formas geométricas como triángulos; es extrínsecamente curvado e intrínsecamente plano.

El espacio-tiempo (y el espacio) tiene una curvatura intrínseca, pero no una curvatura extrínseca porque no hay un espacio exterior desde el que mirarlo. Esto significa que los mapas de grandes regiones no se pueden dibujar sin distorsionar el mapa. La forma más fácil de ver que esto es cierto es reconocer el hecho cotidiano de que los relojes de los satélites GPS no marcan la hora con relojes idénticos en la Tierra. Dado que las leyes de la física en los satélites son las mismas que las leyes en la Tierra, la velocidad de la luz es la misma y, en consecuencia, debe haber una diferencia aparente en la longitud del metro, cuando se ve desde la Tierra. Como resultado, la circunferencia de la órbita del satélite no es igual a 2 π R como sería en una geometría plana.

Aprendí que una esfera tiene una curvatura intrínseca, es decir, una criatura 2d en una esfera 2d aún puede descubrir que una esfera es curva. Pero no entiendo lo que eso significa.

La forma en que determina la curvatura de una esfera usando solo medidas en la superficie 2D de la esfera es encontrando cosas que violan las reglas de la geometría euclidiana plana normal. Por ejemplo:

En un espacio plano la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 ∘ . Pero en una esfera se puede dibujar un triángulo que comienza en el ecuador, se dirige hacia el norte hasta el Polo Norte, gira 90 ∘ va hacia el sur hasta el ecuador, gira 90 ∘ , y se dirige hacia el oeste hasta el punto de partida. Este triángulo tiene 270 ∘ Ángulos interiores.

De manera similar, en el ecuador, dos líneas cercanas que apuntan directamente al norte son paralelas. Pero a medida que sigues cada línea hacia el norte, la distancia disminuye, el ángulo cambia y las líneas eventualmente se cruzan.

Ninguno de estos ejemplos es posible para un espacio plano, por lo que incluso un 2D confinado a la esfera podría determinar que el espacio no era plano, sin necesitar u obtener ninguna evidencia a favor o en contra de un espacio plano de mayor dimensión.

Dado que nuestro espacio-tiempo es curvo, ¿está incrustado en más de 4 dimensiones?

Simplemente no sabemos la respuesta a esto. No tenemos evidencia para apoyar la idea ni ninguna evidencia para descartarla. Ya sea que esté ahí o no, parece ser innecesario para describir la física.

Agregaría que aunque el habitante de la esfera sabe que su mundo 2D tiene una curvatura positiva, no tiene idea de si está incrustado en un espacio 3D. Flatland, el delicioso clásico de Edwin Abbott , es un buen lugar para tener una idea de esas cosas.
@GuyInchbald gracias por la recomendación! He añadido una oración en ese sentido.
@Dale Creo que la pregunta que hago es: todos tienen una especie de intuición de lo que significa la curvatura y esta intuición se basa completamente en la existencia de un espacio plano de dimensiones superiores. ¿ Cómo sabemos que la curvatura intrínseca es ese tipo de curvatura? ¿Cuál es la intuición para eso?
La curvatura intrínseca y extrínseca de @PhyEnthusiast son diferentes. Es posible tener un espacio intrínsecamente plano con curvatura extrínseca. Un ejemplo es un cilindro. Un triángulo en un cilindro tiene 180 grados, por lo que es intrínsecamente plano, aunque es extrínsecamente curvo. En lo que respecta a la intuición, encuentro que la geometría euclidiana (plana) es intuitiva, por lo que cualquier espacio que viole la geometría euclidiana es identificable como algo extraño. Esa es mi intuición. La curvatura intrínseca se trata de violaciones de la geometría euclidiana, no de la curvatura extrínseca en dimensiones superiores
@Dale Entonces, ¿por qué no llamamos a la curvatura intrínseca otra cosa y cambiamos la curvatura extrínseca a solo curvatura? Lo que estoy preguntando es cuáles son las similitudes entre la curvatura intrínseca y extrínseca (¿hay alguna?)
@PhyEnthusiast quizás una pregunta más relevante es por qué no ha dado un solo voto positivo a ninguna de las cuatro personas que han brindado buenas respuestas a la pregunta que hizo y luego más respuestas a las preguntas adicionales que no se molestó en poner la pregunta inicial Se ha gastado mucho esfuerzo en usted sin recibir ninguna amabilidad de su parte. Ambos comportamientos (no hacer su pregunta real primero y sistemáticamente no votar a favor de nadie) son desalentadores para los que responden.
Pero cuando pregunté sobre la intuición de la curvatura intrínseca, me refería a la intuición de por qué se llama curvatura y cómo se relaciona con la noción más simple de curvatura extrínseca. No creo haber hecho preguntas irrelevantes en los comentarios. Probablemente no estaba claro en la pregunta. Pero no sé exactamente cómo hacerlo mejor? Es por eso que estoy tratando de aclarar en los comentarios.
@PhyEnthusiast ahora parece que está haciendo una pregunta lingüística en lugar de una pregunta de física. No hay nada en su pregunta original que indique que estaba interesado en las palabras en lugar de la física, por lo que obtuvo respuestas físicas en lugar de respuestas terminológicas. ¿Por qué un campo de hierba y un campo gravitacional se llaman campo? ¿Por qué una fuerza de soldados y una fuerza de reacción se llaman fuerza? No estudio etimología, así que no sé el origen de la terminología.
@Dale No estoy haciendo una pregunta lingüística. Al menos no estoy tratando de hacerlo. Dado que se llama curvatura intrínseca, ya esperaba que hubiera alguna conexión con la curvatura extrínseca de alguna manera, así que solo estaba tratando de preguntar eso.
@Dale Edité la pregunta para que se adaptara más a lo que estaba tratando de preguntar. Fue completamente mi error que lo expresé de manera diferente antes. Gracias por ayudarme a mejorar mi pregunta.

Nuestro espacio-tiempo es intrínsecamente curvo.

Es muy importante entender la diferencia entre curvatura extrínseca e intrínseca.

La curvatura extrínseca es cuando eres capaz de moverte a una dimensión superior y ver que el mundo de la dimensión inferior es curvo. Se ven mucho esas láminas de goma 2D, dobladas. Ahora imagina que puedes moverte hacia afuera (verlo desde fuera del 2D), básicamente te estás moviendo a una dimensión más alta (en este caso, la tercera) para ver que el plano 2D está curvo. Esta es la curvatura extrínseca. La curvatura extrínseca se extiende a una dimensión (espacial) superior.

La curvatura intrínseca es diferente, no puedes moverte a una dimensión superior para ver que tu mundo es curvo. Para ver esto, imagina la misma hoja de goma. Ahora tenemos cuadrículas en él. En lugar de curvar la lámina de caucho, ahora curve las rejillas de la lámina sin curvar la lámina misma. Nada especial, ¿verdad? Pero lo estás viendo desde fuera. Pero cuando estás en la sábana, viviendo como un flatlander, todavía piensas que todas las cuadrículas son rectas. Cada vez que te mueves como un flatlander en las cuadrículas, crees que te mueves en línea recta. No hay forma de que sepas que no te estás moviendo en línea recta. no hay una dimensión superior a la que moverse para ver. Esto es contrario a la intuición. Esta es la curvatura intrínseca.

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Este tipo de curvatura es lo que ocurre en la relatividad general. Es intrínseco no extrínseco. Entonces, para volver a tu pregunta, no puedes moverte detrás del universo porque no hay detrás para moverse. Solo existen las tres dimensiones espaciales y una temporal, es solo que son intrínsecamente curvas.

¿El universo es plano y por qué no podemos ver o acceder al espacio "detrás" de nuestro plano del universo?

Ahora bien, nuestro universo es específicamente intrínsecamente curvo, porque cuando te mueves en un espacio-tiempo curvo (geodésico), te estás moviendo a lo largo de una línea recta. Esta curvatura intrínseca está incrustada en nuestro espacio-tiempo. No podemos movernos a una dimensión espacial superior para ver esta curvatura. La única forma de saber que existe una curvatura intrínseca son experimentos como la dilatación del tiempo GR y las lentes gravitacionales.

¿Qué es la curvatura intrínseca?
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