¿Existe una unidad para expresar el grado de la curvatura del espacio?

En términos generales , en cuanto a cómo medimos la curvatura del espacio, podemos usar métodos geométricos, en lugar de unidades de cualquier sistema de coordenadas en particular, para establecer la desviación del espacio curvo en comparación con el espacio plano. Tal medida de curvatura se basa en una relación sin unidades.

La curvatura positiva dará como resultado un triángulo con un ángulo interno total de más de 180 grados, y la curvatura negativa producirá un triángulo con un ángulo interno total de menos de 180 grados. Puede encontrar más información sobre cómo podemos estimar la curvatura intrínseca en varias superficies topológicas en Gaussian Curvature , la curvatura gaussiana no se define como el déficit angular sino como la relación entre el déficit angular y el área del triángulo.

La diferencia fundamental entre la curvatura intrínseca y la curvatura extrínseca es que para calcular la curvatura intrínseca, no necesitamos una dimensión adicional (que no tenemos disponible en el espacio-tiempo de 4 dimensiones).

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa (hiperboloide), una superficie de curvatura gaussiana cero (cilindro) y una superficie de curvatura gaussiana positiva (esfera).

Curvatura positiva de 270 grados, en lugar de los 180 grados habituales de un triángulo, como en el espacio plano.

Deliberadamente voy a pasar por alto el concepto de Transporte Paralelo e ir directamente al Efecto Geodésico .

En un espacio tridimensional curvo, un giroscopio es un buen objeto físico análogo a un vector tangente tridimensional.

Un giroscopio en órbita alrededor de la Tierra apuntará en una dirección determinada y, debido a la curvatura del espacio-tiempo de la Tierra, la dirección en la que apunta girará debido a la curvatura del espacio-tiempo causada por la masa de la Tierra. Esta rotación se llama efecto geodésico, y la siguiente ilustración exagera este efecto, ya que no es detectable a simple vista, debido a la masa relativamente pequeña de la Tierra.

Este método basado en giroscopio en realidad produce una medida numérica, en lugar de geométrica.

Una representación exagerada del efecto geodésico. Un giroscopio colocado en órbita alrededor de la Tierra sufre una precesión debido a la curvatura del espacio alrededor de la Tierra.

Hay otros efectos, como Frame Draggging Wikipedia , y una buena fuente de más información, de la cual se tomaron el resumen y las ilustraciones anteriores, es The Geodetic Effect.

También incluyo un comentario de Jerry Schirmer: diría que la curvatura de Riemann definitivamente tiene una unidad: longitud inversa al cuadrado. Tenga en cuenta que la desviación de los triángulos de 180 grados depende del tamaño del triángulo.

La pregunta se plantea a un nivel no técnico, y count_to_10 ha dado una respuesta no técnica bastante decente. Sin embargo, esa respuesta no aborda literalmente la pregunta del OP sobre las unidades de medida, o sobre cuánta curvatura provoca, por ejemplo, el sol.

¿Existe una unidad para expresar el grado de la curvatura del espacio?

La relatividad general no describe la gravedad como la curvatura del espacio, la describe como la curvatura del espacio-tiempo.

GR tiene más de una medida de curvatura. De hecho, hay un número infinito de formas diferentes de medir la curvatura, por ejemplo, las invariantes de Carminati-McLenaghan, https://en.wikipedia.org/wiki/Carminati%E2%80%93McLenaghan_invariants . Sin embargo, hay algunas medidas de curvatura que son más fundamentales que otras y se usan con frecuencia. Estos son el tensor de Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de Ricci.

Todos estos son tensores. (Un escalar es un caso especial de un tensor.) Es un poco sutil definir lo que queremos decir con las unidades de un tensor. Tengo una discusión detallada de esto en la sección 9.6 de mi libro sobre relatividad especial . Como se describe allí, existen múltiples convenciones diferentes para describir las unidades de un tensor. Ninguna de estas convenciones es correcta o incorrecta; solo tiene que elegir uno antes de poder decir lo que quiere decir con unidades.

De todos modos, si adopta la convención que defiendo allí (que es esencialmente la utilizada por Schouten), entonces los tres tensores de curvatura que describo anteriormente tienen unidades SI de metros^-2. Para relacionar esto con la respuesta de count_to_10, tenga en cuenta que el déficit angular del triángulo en la primera figura es proporcional al área del triángulo. Por lo tanto, si queremos una medida de curvatura que sea independiente del triángulo que usemos, debemos dividir el déficit angular por el área.

¿Cuánto deforma el espacio el Sol?

En un sistema de coordenadas localmente cartesiano, todas las componentes del tensor de Riemann debidas al campo solar son del orden$Gm/(c^2r^3)$, dónde$m$es la masa del sol y$r$es la distancia al sol. Como motivación física para esta expresión, sin profundizar en los detalles de GR, la idea es que GR describe la gravedad como una fuerza ficticia, y solo los efectos de las mareas son reales. En la física newtoniana, los efectos de marea son como$Gm/r^3$. el factor de$c^{-2}$es solo una cuestión de unidades; lo necesitamos para obtener un resultado SI. Configuración$r$igual a la distancia de la tierra al sol, obtenemos aproximadamente$4\times 10^{-31}\ \text{m}^{-2}$.

entre la suma de los ángulos del triángulo y la curvatura total dentro de ese triángulo viene dada por donde θi es el ángulo medido en cada satélite (medido en radianes), T es la superficie triangular 2D definida por los tres satélites integrados, K es la curvatura gaussiana en cada punto del triángulo, y dA es el área infinitesimal con curvatura K . Para una región del espacio con curvatura total cero, los ángulos sumarán π radianes (180∘). La curvatura positiva conduce a una suma mayor que π , la curvatura negativa a una suma menor que π .

k es la constante de la ley de Coulomb R es el tensor de Ricci - El tensor de Ricci es una unidad menor, por lo que

Una forma de medir la curvatura del espacio-tiempo es con giroscopios y miden arcsec/año o segundos de arcos por año. Pero los grados aún funcionan en el espacio. Si colocas un triángulo sobre una esfera, sus ángulos sumarán 270 grados en lugar de 180.

En la métrica de Robertson-Walker,

El$k$en el segundo término está el parámetro de curvatura que toma los valores +1 o -1 dependiendo de si el espacio-tiempo es curvado positiva o negativamente. Esta es una versión simplificada de$K$, que es la curvatura gaussiana. La curvatura espacial se relaciona entonces con el escalar de Ricci$R$que es un número que está determinado por la geometría del espacio que lo rodea.

Sí. En cosmología, se llama 'la métrica'. 'La métrica' es la ecuación que describe cómo se 'curva' el espacio alrededor de los cuerpos, etc., y te permite distinguir entre la 'distancia métrica' y la 'distancia adecuada'. La "Introducción a la cosmología" de Barbara Ryden tiene una introducción fantástica al concepto, así como algunas ilustraciones muy bonitas.