¿Alguna "conexión" entre incontables infinitamente muchas variedades diferenciables de dimensión 4 y el espacio-tiempo que tiene dimensión cuatro?

Lo que dijo el profesor parece bastante obviamente falso. Por ejemplo, en la dimensión$2$ya hay hasta el homeomorfismo infinitas variedades orientables, conexas y compactas. La característica de Euler (o equivalentemente el género) es una invariante topológica que los distingue. Si dos variedades no son homeomorfas, definitivamente no son difeomorfas. Si permite que el colector se desconecte, incluso en dimensión$1$las uniones disjuntas de círculos producen una familia infinita de variedades compactas y orientables.

A lo que el disertante podría haberse referido es a que$\Bbb R^n$tiene, salvo difeomorfismo, exactamente una estructura suave (la "estándar") en cualquier dimensión$n\neq 4$. en dimensión$4$, se deduce del trabajo de Freedman (sobre las propiedades topológicas de$4$-variedades) y Donaldson (sobre las propiedades de$4$-variedades que pueden detectar la estructura suave) que hay innumerables estructuras suaves no difeomorfas en$\Bbb R^4$: hay muchos "falsos" o "exóticos"$\Bbb R^4$'s .

El trabajo de Donaldson tiene estrechas conexiones con la física (uno prueba sus principales resultados utilizando la teoría de Yang-Mills o la teoría de Seiberg-Witten, que proporcionan invariantes que pueden distinguir estructuras suaves no difeomorfas). Sin embargo, actualmente no existe una interpretación física convencional por el hecho de que hay falsos$\Bbb R^4$'s. No está claro que haya alguna relevancia física para este hecho.

Dejando de lado la diversión, las esferas exóticas también son un tema de investigación en matemáticas. El documento que acabo de vincular muestra que en dimensiones$5-61$, la mayoría de las esferas admiten estructuras exóticas. Por lo tanto, el fenómeno de las "estructuras exóticas" en las variedades está lejos de ser exclusivo de la dimensión cuatro. Tenga en cuenta que el problema está abierto en dimensión$4$. Como se señaló en los comentarios de ACuriousMind, hay un artículo de Witten que intenta interpretar físicamente esferas exóticas, aunque no sé nada sobre sus argumentos.

La razón generalmente citada por la cual la dimensión$4$es especial tiene que ver con ciertos teoremas geométrico-diferenciales de poder extraordinario que requieren "margen de maniobra", lo que hace que funcionen solo en dimensiones$\geq 5$. Hasta donde yo sé, el teorema del cobordismo h de Smale es uno de los principales ejemplos de este fenómeno. De este modo,$n=4$es la dimensión más grande en la que los "métodos de alta dimensión" no funcionan. Dimensiones$1$y$2$son un poco más fáciles de trabajar porque los fenómenos que ocurren allí son comparativamente "dóciles". Desde un punto de vista geométrico y topológico, las cosas empiezan a ponerse realmente interesantes en cuanto a dimensión.$3$, mientras$4$es "salvaje". No sé mucho más al respecto que eso, pero hay varios libros excelentes sobre$3$- y$4$-múltiples (para el primero, sé que especialmente el libro de Thurston es genial, mientras que el segundo tiene libros de Donaldson, Freedman, Freed & Uhlenbeck, Gompf & Stipsicz, etc.).

Citaste mal al profesor.

La declaración era cuántos$C^\infty$variedades que puedes hacer a partir de un dado$C^0$variedad (hasta un difeomorfismo).