¿Qué tensor describe la curvatura en el espacio-tiempo 4D?

En general, es el tensor de Riemann el que codifica la curvatura, no la métrica. Aunque es bastante difícil ver por qué el tensor de Riemann describe la curvatura directamente a partir de su definición, debido a su abstracción, es bastante fácil verlo geométricamente a partir de la noción equivalente de curvatura seccional ( https://en.wikipedia.org/wiki/ Curvatura_seccional ).

Afortunadamente, en teorías con conexión Levi-Civita (sin torsión y compatibles con la métrica), como la Relatividad General, los símbolos de Christoffel se dan en términos de la métrica (y sus derivados, por supuesto) y, a su vez, el tensor de Riemann se da como una función. de la métrica. Solo que en este caso el tensor de Riemann es función de la métrica.

Puede derivar el tensor de Riemann del tensor métrico y viceversa , por lo que conocer cualquiera de los dos es suficiente.

El tensor de Riemann tiene muchas simetrías que restringen su forma. No todos los posibles tensores de rango 4 son tensores de Riemann válidos. Es por eso que los dos pueden derivarse uno del otro aunque el tensor métrico parece contener mucha menos información.

El tensor de Riemann se puede relacionar con la métrica a través de la fórmula

$$\begin{equation} R_{\lambda\mu\nu\chi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g_{\lambda\nu}}{\partial x^\chi \partial x^\mu} - \frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^\chi \partial x^\lambda} - \frac{\partial^2 g_{\lambda\chi}}{\partial x^\nu \partial x^\mu} + \frac{\partial^2 g_{\mu\chi}}{\partial x^\nu \partial x^\lambda}\right) + g_{\eta\sigma} \left( \Gamma^\eta_{\nu\lambda} \Gamma^\sigma_{\mu\chi} - \Gamma^\eta_{\chi\lambda} \Gamma^\sigma_{\mu\nu}\right), \end{equation}$$ dónde $\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$son los símbolos de Christoffel definidos por $$\begin{equation} \Gamma_{\mu\beta}^\chi = \frac{1}{2} g^{\chi\alpha} \left( \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial g_{\alpha \mu}}{\partial x^\beta} - \frac{\partial g_{\beta \mu}}{\partial x^\alpha} \right). \end{equation}$$ Como puede ver, el tensor de Riemann es un tensor de rango 4 completamente definido por la métrica $g_{\mu\nu}$(un tensor de rango 2). Esencialmente, los cuatro índices provienen del hecho de que el espacio-tiempo es un espacio vectorial de cuatro dimensiones y que $\mu,\nu,\lambda,\chi$tomar los valores $1,2,3,4$.

Después de eso, las dos declaraciones que publicaste antes son perfectamente coherentes ya que$R_{\lambda\mu\nu\chi}$está completamente definida por el tensor métrico y viceversa. De hecho, la curvatura del espacio-tiempo está codificada por las soluciones tensoriales de la ecuación de Einstein:

$$\begin{equation} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R - \lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}. \end{equation}$$ Aquí, $T_{\mu\nu}$representa el tensor de energía-momento mientras que $R_{\mu\nu},R$son el tensor de Ricci y el escalar de Ricci (dos cantidades directamente relacionadas con $R_{\lambda\mu\nu\chi}$) . En palabras simples, $T_{\mu\nu}$depende exclusivamente de la distribución energía-momento dentro del espacio-tiempo y, dado que la masa se puede traducir a energía de $E = mc^2$, podemos interpretar la energía y el momento como una fuente de campo gravitacional.

Toda la información que necesita saber sobre la curvatura intrínseca de una variedad se almacena en la métrica,$g_{\mu\nu}$. Mientras que el tensor de Riemann$R^\lambda_{\mu\sigma \nu}$es el tensor que describe la curvatura intrínseca, se calcula a partir de$g_{\mu\nu}$y sus derivadas, por lo que toda la información sobre la curvatura proviene de $g_{\mu\nu}$, pero solo lo ves , por así decirlo, cuando calculas el tensor de Riemann.

Ahora bien, se debe distinguir la curvatura intrínseca, descrita por el tensor de Riemann y las cantidades calculadas a partir de él, de la curvatura extrínseca, que se debe a la incrustación de una variedad dentro de otra. En el caso de la curvatura extrínseca de una variedad,$K_{\mu\nu}$, no es suficiente conocer la métrica de la variedad, también debe conocer la métrica de la variedad en la que está incrustado.

Finalmente, tenga en cuenta que si le doy algo de tensor de Riemann$R^\lambda_{\mu\sigma\nu}$que he calculado a partir de alguna métrica sin que usted lo sepa, luego, para determinar la métrica, necesitaría complementar la curvatura con algunas condiciones iniciales, como cabría esperar de cualquier ecuación diferencial.

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Un ejemplo: para una variedad de Khaler, hay algo aún más simple que contiene tanta información como la métrica: el potencial de Khaler. Esto se debe a que para una variedad de Khaler compleja,

$$g_{ij} \sim \frac{\partial^2}{\partial z^i \partial \bar{z}^j} K(z,\bar{z}).$$

Entonces, cualquier tensor calculado a partir de$g_{ij}$deriva toda su 'información' de la única función escalar$K(z,\bar z)$. En el caso de la curvatura de Ricci,

$$R_{ij} \sim \frac{\partial^2}{\partial z^i \partial \bar{z}^j} \log (\mathrm{det} \, g).$$

Por lo tanto, debido a la forma relativamente simple del tensor de curvatura para una variedad de Khaler, es aún más claro que no hay información nueva, sino que la métrica determina toda la curvatura.