¿Cómo es el producto escalar una generalización de la multiplicación?

He visto una explicación interesante para muchas de las definiciones que antes pensaba que no estaban motivadas en la mecánica newtoniana, a saber, que la potencia siempre se define como flujo de tiempo de esfuerzo. Pero cuando tratas de definir el poder en la dinámica, obviamente necesitas tratar con vectores, de ahí mi pregunta: ¿cómo es el producto escalar la buena generalización de la multiplicación en R ¿Al espacio? ¿Por qué no cualquier otro producto interno en R 3 que se reduce a la multiplicación en R ? Sé que es una especie de producto interno canónico en R 3 , tiene algo que ver con eso?

¿ El hecho de que funcione no es justificación suficiente para ti?
Recomiendo Vectores geométricos de Gabriel Weinreich , Chicago Lectures in Physics (1998). Da definiciones topológicas, que proporcionan más intuición. Puede derivar el producto escalar cartesiano mediante un análisis geométrico de una proyección; es casi obvio en 2D, pero deberías resolverlo por ti mismo. Los cosenos de dirección son la clave.
Tu motivación de estudiar física "por el bien de las matemáticas" no hace justicia ni a la física ni a las matemáticas. Uno no tiene absolutamente nada que ver con el otro. La física estudia la naturaleza y toda su ontología es experimental (que no te interesa), mientras que las matemáticas tratan de establecer una clasificación de la estructura y se preguntan sobre todo por las propiedades del infinito, que no existe en la realidad. Las matemáticas son ajedrez mental al más alto nivel, la física es una experimentación hacia abajo y sucia con la materia. Si lo que te interesa son las matemáticas, te sugiero que te olvides de la física, no te va a servir.
@RaphaelPicovschi: Hazme un favor y hazme el experimento matemático más simple: enumera los números naturales. Nos vemos mañana.

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Hay un poco más de pensamiento detrás de decir que PAG = F → ⋅ v → que ser una multiplicación generalizada en 3D. Incluso hay casos en los que la multiplicación con escalares se convierte en un producto cruzado cuando se usan vectores 3D. Por ejemplo, par T = F r , se convierte T → = r → × F → . Siempre que implemente vectores en ecuaciones escalares existentes, debe tener cuidado al decidir cómo implementar la "dirección" en su ecuación.

Para el poder, es importante considerar exactamente qué es el poder: el poder es igual a la fuerza multiplicada por el componente de velocidad en la misma dirección que la fuerza. En problemas puramente 1D, la fuerza siempre está en la misma dirección o en dirección opuesta, por lo que todo lo que se necesita para considerar la dirección es un signo más o menos. En dimensiones más altas, es más complicado. Digamos que tenemos vectores para la fuerza y ​​la velocidad. F → y v → . Al ser un problema de dimensiones superiores a 1, los vectores fuerza y ​​velocidad no necesariamente tienen la misma dirección. Entonces, digamos que un ángulo θ separa los dos vectores. Si es así, la componente escalar de la velocidad en la dirección de la fuerza, usando trigonometría, es | v → | porque ⁡ θ . Entonces, esto significa que la potencia es igual a:

PAG = | F → | | v → | porque ⁡ θ

Luego, mirando el lado derecho, puedes ver cómo coincide con una definición del producto escalar: | a → | | b → | porque ⁡ θ = a → ⋅ b → , con θ siendo el ángulo entre los dos vectores. Por lo tanto, hemos derivado:

PAG = F → ⋅ v →

Entonces, es al considerar algún aspecto de la dirección de los vectores de interés que obtenemos la ecuación vectorial, en lugar de que el producto escalar sea una generalización matemática de la multiplicación escalar.

Es cierto que hay muchos productos interiores entre los que puedes elegir R 3 . Sin embargo, la física proporciona el principio adicional de invariancia rotacional: el resultado no debería depender de nuestro sistema de coordenadas. Ahora, cualquier producto interior de vectores a y b Se puede escribir como

a ⋅ b = a T METRO b
para una matriz METRO . La invariancia rotacional nos dice que METRO debe tener el mismo aspecto en un sistema de coordenadas girado, por lo que
METRO = R T METRO R
para cualquier matriz de rotación R . Es sencillo mostrar que solo una matriz satisface esta condición: la identidad, multiplicada por una constante. Para reducir correctamente al caso 1D, la constante debe ser 1, especificando de forma única
a ⋅ b = a T b .
Este es el producto interno estándar.

Tenga en cuenta que si permitimos que el producto de vectores genere otro vector, METRO se convierte en un tensor de rango 3, y este mismo argumento muestra que METRO es el tensor de Levi-Civita, que da el producto cruz.

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