¿Por qué usamos vectores?

Puedes hacerlo de esa manera, pero... ¿en qué se diferencia de los vectores? Si lo piensas bien, es lo mismo, después de todo.

Te entiendo, el formalismo es complicado. ¿Por qué tanta complicación? Bueno, a pesar de algunos métodos, sigo pensando que todo el mundo debería empezar a separar los componentes.

$x=5m; y=2m$.

Eso es mucho más fácil de trabajar.

Por ejemplo, cuando arrojas un objeto, el$x$-el eje es un movimiento rectilíneo uniforme

Es realmente más fácil de esa manera, estoy de acuerdo. También apoyo ese método, porque entonces solo se trata de juntarlos. Calculas todas las cosas así, y luego, si la pregunta te pide que las des en forma de vectores, solo tienes que "ponerlas juntas", y eso no requiere mucho esfuerzo:

Entonces, el primer punto es que

Ya los estás usando, aunque en realidad no te das cuenta.

De hecho, a veces querrás calcular la distancia desde el origen, y eso es$\sqrt{x^2+y^2}$. El módulo del vector, de hecho.

Pero hay más razones: los vectores son realmente útiles para

• Hacer cálculos (como sumar distancias y velocidades). Y conocemos muy bien sus propiedades.
• Trabaja en diferentes marcos.

Y déjame explicarte este último punto. Si usted dice$x=5m$, que se adjunta al marco de referencia que ha elegido. SI quisiera cambiar a otro marco de referencia, tendría que volver a calcular todo. Eso es tedioso.

Sin embargo, los vectores son una herramienta poderosa para hacer esto. Puede usar una matriz para transformar TODOS los vectores. Entonces, solo tiene que calcular una matriz, y eso funcionará para transformar todas las posiciones, todas las velocidades y todas las aceleraciones, con un cálculo simple.

También funciona para fuerzas, campos, etc.

Entonces sí, los vectores son realmente útiles:

• Aparecen de forma natural. En 1 dimensión, puedes trabajar con números. Pero tan pronto como vaya a 2 dimensiones, la mejor manera de ubicar puntos es usando coordenadas en un plano,$P=(x,y)$. Pero eso está absolutamente vinculado a un vector.$\vec{r}=(x,y)$. Así aparecen de forma natural. Un marco de referencia cartesiano nos invita a hacerlo. Hay un pequeño paso de puntos a vectores.
• Permiten visualizaciones fáciles: cómo sumar cantidades, aunque sean perpendiculares. Cálculo de módulos y direcciones...
• Se transforman fácilmente al cambiar a otro marco de referencia.

Una vez leí un artículo que decía que toda la mecánica podría haberse formulado en términos de cuaterniones en lugar de vectores ... ¡pero esos vectores simplemente wan !

También mostró cómo la órbita elíptica de un cuerpo bajo la atracción gravitacional de un punto se formula en términos de cuaterniones. ¡Era una hermosa pieza de matemáticas!

Otras personas ya han dado algunas respuestas excelentes, pero solo quería dar otra razón realmente excelente para usar vectores: productos de puntos y cruces:

Permítanme hacer esta pregunta: ¿Cómo calculo el momento angular de una partícula que se mueve con un momento perpendicular a su vector radial?

Imagen no vectorial:

Imagen vectorial:

No solo es mucho más fácil pensar en la imagen vectorial, sino que también es la fuente de las ecuaciones que escribí en la imagen no vectorial. Además, es mucho más fácil ajustar el modelo de imagen vectorial a los cambios en las condiciones iniciales. Por ejemplo, si digo que la cantidad de movimiento ya no es perpendicular al movimiento sino en$45^o$para ello, la imagen vectorial solo necesitaría un pequeño ajuste de ángulo, mientras que la imagen no vectorial requeriría un recálculo completo.

¡Espero que ayude!

Cuando dices " 5 metros a lo largo del eje x ", primero se deben definir dos cosas:

• En qué dirección apunta el eje x, y
• cuánto mide una unidad en este eje.

Si no sabe esto, su declaración no tiene sentido.

Y saber esas dos cosas es lo mismo que saber el vector base $\vec i$. El vector base es la versión matemática de esas dos cosas escritas como una sola.

Los vectores, como otras construcciones matemáticas, hacen la vida más fácil. Un vector es una lista finita de números (llamados componentes o elementos) que se agrupan y su ubicación en la lista es importante.

Su poder proviene del hecho de que tienen algunos comportamientos específicos , lo que significa que cualquier cosa que pueda ser representada por un vector también tiene el mismo comportamiento. Estas son como "insignias de mérito" que les dicen a los estudiantes que leen libros de texto ya los científicos e ingenieros que trabajan con vectores cómo se comportan estas cosas.

Álgebra lineal

Por ejemplo: exploremos los comportamientos de los vectores bajo el paraguas de la linealidad . A continuación se presentan algunas reglas básicas de todos los vectores:

1. Para sumar dos vectores, agregue cada componente a la misma ubicación en la lista. Entonces, el primer componente de dos vectores se suma para producir el primer componente del vector resultante

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{c} & = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \\ \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n} & = \pmatrix{a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n} \end{aligned}$$ Como resultado, todos los vectores tienen las siguientes propiedades:
   • La suma de vectores es conmutativa:$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$
   • la suma de vectores es asociativa:$\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$

2. Multiplicas cualquier valor escalar con un vector multiplicando cada componente con el mismo valor

   $$\begin{aligned} \boldsymbol{c} & = \lambda \boldsymbol{a} \\ \pmatrix{c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n} & = \pmatrix{\lambda\, a_1 \\ \lambda\, a_2 \\ \vdots \\ \lambda\, a_n} \end{aligned}$$

   Como resultado, todos los vectores tienen las siguientes propiedades:

   • los vectores tienen la propiedad distributiva (con respecto a los valores escalares):$\lambda (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = \lambda\,\boldsymbol{a}+ \lambda\,\boldsymbol{b}$
   • puedes construir vectores a partir de una combinación lineal de otros vectores:$\boldsymbol{c} = 3\, \boldsymbol{a} - 2\, \boldsymbol{b} + \ldots$

3. Cada vector tiene una magnitud que se define por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada componente.

   $$\| \boldsymbol{a} \| = \sqrt{ \sum_{i=1}^n a_i^2}$$

Un ejemplo práctico

Un objeto se mueve con velocidad constante$\boldsymbol{v}=\pmatrix{37 \\ -5.2 \\ -22.4}$cual es su desplazamiento despues$t=7$segundos.

• El vector de desplazamiento se calcula mediante la ecuación$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{v}\,t$.

  $$\pmatrix{x \\ y \\ z} =7\,\pmatrix{37 \\ -5.2 \\ -22.4} = \pmatrix{259 \\ -36.4 \\ -156.8}$$

• el desplazamiento$d$es la magnitud del vector de desplazamiento$d = \| \boldsymbol{r} \|$

  $$d = \sqrt{ 259^2 +(-36.4)^2 + (-156.8)^2 } = \sqrt{92992.2} = 304.94622$$

Así que, qué hemos aprendido. Que aunque los resultados son igualmente calculables trabajando con componentes que con vectores, es mucho más fácil escribir$d = \| \boldsymbol{v}\,t \|$que las expresiones a las que esto se expande.

También todos entendemos que la distancia si el objeto se movía con$3 \boldsymbol{v}$sería tres veces más, debido a las propiedades de linealidad anteriores. Por otro lado, si especificamos la velocidad por componente, no es obvio cuál es la relación con la velocidad original.

Finalmente, dada una ecuación vectorial como$\boldsymbol{r} = \frac{1}{2} \boldsymbol{a} t^2$o$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}$o$v = \| \boldsymbol{v} \|$todos entendemos cuáles son las propiedades de esta relación. Duplica la masa$m$y el vector fuerza$\boldsymbol{F}$también se duplica, o la magnitud de la fuerza de una combinación de dos fuerzas debe ser$F = \| \boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 \|$. No tenemos que probar el comportamiento anterior cada vez que lo usamos, porque ya hemos probado las propiedades del álgebra lineal una vez y eso es suficiente.

Nota final Hice todo lo anterior sin mencionar qué marco de coordenadas estoy usando o qué significa cada componente (como x , y , z ). Siempre que sea coherente con mis componentes vectoriales (sistema de coordenadas común), puedo realizar todas las acciones que me permite el álgebra lineal y sé que los resultados son correctos. Solo cuando desee interpretar los resultados, piense en cosas como, oh, el segundo componente está en la dirección "hacia arriba", o cualquier convención que esté usando.