¿Por qué la dirección de un vector de área debe ser siempre a lo largo de la normal dibujada en la superficie? ¿No pueden ser también otros ángulos con el plano?
Esta convención es extremadamente conveniente cuando se hacen cosas que a los físicos les gustan o necesitan hacer, como calcular un flujo a través de una superficie. Cuando el vector de área se elige normal a la superficie, uno simplemente puede usar un producto escalar para obtener lo que está buscando.
En el contexto de las formas diferenciales , esta también resulta ser la definición natural, ya que, al menos en el espacio tridimensional, el vector de superficie es esencialmente un producto cruzado de dos vectores que abarcan la superficie.
En este contexto, esta es solo una definición natural que resulta útil. Por ejemplo, la tasa de flujo de un fluido a través de un plano es el producto escalar de la velocidad del fluido con el vector de área.
[Hay una forma matemáticamente más sofisticada de entender esto, que es que el área del vector es realmente un bivector o de dos formas. En el espacio tridimensional, esto es equivalente a un vector, pero no en situaciones más generales]
En realidad, es la "mejor" manera de definir un plano (o un hiperplano), es decir, definir el plano por donde no está. Piénselo: si un avión se extiende por el suelo, entonces no sube hasta el techo. Por lo tanto, la dirección desde el piso hasta el techo es una dirección única en la que el plano no existe. Dado que las convenciones se refieren a la conveniencia, esta es la forma más conveniente de hacerlo (para la mayoría de las aplicaciones, en física/matemática pura y aplicada).
¿No pueden ser también otros ángulos con el plano?
Puede definir el plano con vectores distintos de los normales, pero será mucho más complicado que usar el vector que apunta en la dirección en la que el plano no se extiende (esto implicaría productos cruzados como han indicado otras respuestas). Esta definición de un plano en el espacio 3D es algebraica, pero existen (y estas, por supuesto, son anteriores a las nociones algebraicas) también definiciones geométricas que podrían tener un sentido más intuitivo.
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