Definición de producto vectorial vectorial

Espero tener razón al decir que el producto cruzado, A → × B → de dos vectores se define por una regla de la mano derecha (por ejemplo, si A → puntos a lo largo del dedo índice y B → a lo largo del segundo dedo, luego A → × B → puntos a lo largo del pulgar) si está usando un sistema de coordenadas de mano derecha, pero por una regla de mano izquierda si está usando un sistema de coordenadas de mano izquierda.

¿Qué motiva esta diferencia de reglas? Entiendo el concepto de sistemas de coordenadas para diestros y zurdos, pero no entiendo por qué nuestra definición del producto cruzado debe depender del sistema de coordenadas. ¿Qué tendría de malo continuar definiendo el producto vectorial usando una regla de la mano derecha, mientras se usa un sistema de coordenadas de la mano izquierda y aceptando que sus componentes tendrán signos diferentes en un sistema de coordenadas diferente? [Estoy usando el producto vectorial como ejemplo de un vector axial.]

Una vez más para explicar mi dificultad (¿bloqueo mental?) Tome la fuerza magnética de Lorentz, F → = q v → × B → . ¿Qué tiene la dirección de F → que ver con los sistemas de coordenadas? ¿No es fijo en relación con v → y B → por una regla de la mano derecha (y varias otras convenciones)?

En una coordenada izquierda tenemos i ^ × j ^ = − k ^ . No obtendrá eso usando la regla de la mano derecha. Necesitarás la regla de la mano izquierda.
¿Por qué complicar las cosas con reglas de mano y sistemas de coordenadas en conflicto, donde tienes que preocuparte por los signos? Es mucho más fácil mantener las cosas simples. No estoy seguro si hay una explicación más profunda para esto.
@Koo Zhengqun Me parece complicar las cosas para definir un producto cruzado de manera diferente según los sistemas de coordenadas. Siempre he pensado en un vector como independiente del sistema de coordenadas. Supongo que me estoy perdiendo algo obvio.
El producto cruzado depende del campo/espacio vectorial en el que se define. No se pueden aplicar reglas diferentes a uno y no al otro.
Hay una relación diferente entre los conceptos. El sistema de coordenadas y el producto cruzado están estrechamente relacionados, ya que puede describir el producto cruzado en términos de sistema de coordenadas o, por el contrario, el sistema de coordenadas en términos de producto cruzado. También puede usar vectores para describir productos cruzados, pero también puede usar vectores para describir muchas otras cosas. Por otro lado, realmente no puedes usar productos cruzados para describir vectores.
Los diestros y los zurdos son convencionales, pero verdaderamente lo son según fórmulas matemáticas.
Gracias por intentar ayudar a todos. He agregado otro breve párrafo a la pregunta inicial para ayudar a explicar mi dificultad, pero supongo que soy un caso perdido.
@Diracology "En una coordenada de la mano izquierda tenemos î ×ĵ =−k̂ . No obtendrá eso usando la regla de la mano derecha. Necesitará la regla de la mano izquierda". Pero yo d i d solo obténgalo usando la regla de la mano derecha: girando el dedo índice de la mano izquierda ( i → ) ) en el segundo dedo de la mano izquierda ( j → ) ) un tornillo de mano derecha avanza en la dirección opuesta a la forma en que apunta el pulgar de la mano izquierda.
la dirección de F y de v son independientes del sistema de coordenadas, estos son vectores. Pero B no es un vector (es un pseudo-vector) y la operación producto × se define de modo que cuando un vector se combina con un pseudo-vector se obtiene un vector, de ahí las reglas de natación.
A ver si he entendido...
Si todavía hay gente paciente por ahí, déjame ver si he entendido... ¿Es el caso de que (1) el primer comentario anterior (de Diracology) está mal, y que incluso en un sistema zurdo, i → × j → = k → y que (2) en un sistema zurdo la fuerza magnética de Lorentz es F → = − q v → × B → . Si es así, creo que lo entiendo.

Respuestas (1)

En algún nivel, su pregunta simplemente se reduce a convenciones: hay varios conjuntos de convenciones de signos que dan las respuestas correctas, por lo que solo necesita encontrar uno que le resulte conceptualmente satisfactorio y atenerse a él.

Podría ser útil señalar que solo puedes medir directamente los vectores polares. Los vectores axiales pueden considerarse abstracciones matemáticas que solo aparecen como pasos intermedios en un proceso físico. Por ejemplo, tiene razón en que en la ley de fuerza de Lorentz F = q v × B , la fuerza es una cantidad física cuya dirección no debe cambiar de signo bajo transformaciones de coordenadas. Pero recuerde que el campo magnético en sí está determinado físicamente por la ley de Biot-Savart (en la aproximación magnetostática; las cosas se complican más en el caso dinámico, pero las propiedades de transformación de paridad no cambian):

B ( X ) = ∫ d 3 X ′   j ( X ′ ) × r ^ r 2 ,
dónde r := X − X ′ . Por lo tanto, el campo magnético es un vector axial y no se puede medir directamente; solo puede observar su efecto tomando otro producto cruzado para obtener una fuerza a través de la ley de fuerza de Lorentz.

El chiste es que siempre puede expandir cualquier vector físicamente medible como determinado por un número par de productos cruzados. Por ejemplo, puedes escribir la fuerza magnética sobre una partícula como

F ( X ) = q v × ∫ d 3 X ′   j ( X ′ ) × r ^ r 2 .

Entonces, hay dos formas diferentes pero físicamente equivalentes de conceptualizar un cambio en la lateralidad de su sistema de coordenadas. Puede pensar en todos los productos cruzados "diestros" que se convierten en productos cruzados "zurdos", en cuyo caso todos los vectores axiales (como el campo magnético) cambiarán físicamente de dirección, pero como no se pueden medir físicamente, esto tiene sin consecuencias en la física observable. O puede, como prefiera, pensar en los productos cruzados como determinados "físicamente" por la regla de la mano derecha, en cuyo caso no cambian de dirección porque no les importa su elección de coordenadas. En este marco, el campo magnético no cambia de dirección bajo una inversión de coordenadas. Ambas conceptualizaciones conducen a una física observable idéntica: dado que cualquier vector directamente observable se compone de un número par de productos cruzados, no toma ningún signo menos o un número par de signos menos bajo una inversión de coordenadas. En cualquier caso, su dirección no cambia.

Gracias por esta respuesta. Permitir una elección de puntos de vista parece el camino a seguir para mí. Sabía que mis dificultades tenían más que ver con el lenguaje y las convenciones que con la física o incluso las matemáticas. Pero muchas presentaciones elementales de este tema son dogmáticas y, para mí, confusas.
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