¿Cuándo serán perpendiculares los vectores de velocidad y aceleración? [cerrado]

Supongamos que una partícula se mueve en el X y avion con

X = a t , y = a t ( 1 − b t ) ,
dónde a y b son constantes positivas. ¿Cuándo serán perpendiculares el vector de velocidad y el vector de aceleración?

Sé que estos vectores son perpendiculares en movimiento circular. Entonces, ¿debería usar la ecuación del círculo?

X 2 + y 2 = r 2
luego sustituir r con aceleración centrípeta
a C = v 2 / r
y luego sustituir v ? Pero no veo cómo obtendré una ecuación que tenga algo que ver con los vectores.

Respuestas (2)

No, el movimiento circular es solo uno de los casos en los que la aceleración y la velocidad son perpendiculares, definitivamente no deberías usar eso.

Tienes un vector de posición, r → ( t ) = [ a   t ,     a   t ( 1 − b   t ) ] . Sus derivadas primera y segunda son vectores de velocidad y aceleración, y desea tomar el producto escalar de esos dos vectores, para ver si ese producto escalar es cero:

X ′ ( t ) X ″ ( t ) + y ′ ( t ) y ″ ( t ) = 0.
El primer término es trivialmente cero de la segunda derivada de X , la segunda derivada de y es una constante que se puede dividir a menos que a = 0 o b = 0 .

Para reafirmar eso más físicamente, tu aceleración es constante y en la dirección y. Entonces, está buscando una velocidad que esté puramente en la dirección x.

Otro enfoque utiliza v ⋅ a = d d t ( v 2 / 2 ) , por lo que la ortogonalidad es equivalente a v 2 = X ˙ 2 + y ˙ 2 = a 2 + ( a − 2 a b t ) 2 siendo constante. Esto es equivalente a a = 0 o b = 0 .

Este es un muy buen enfoque para el problema también. Sin embargo, tu última oración está fuera de lugar.
@CRDrost Plus nos permite probar fácilmente v está confinado a un radio- | v | círculo, aunque sin conocimiento de cómo varía la posición en él con el tiempo, razón por la cual la integración no implica que el movimiento sea circular.
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