¿Cuál es el significado físico del producto punto y cruz de vectores? ¿Por qué la división no está definida para vectores?

Obtengo el significado físico de la suma y resta de vectores. Pero no entiendo qué significan los productos de puntos y cruces.

Tal vez encuentre más intuitivas las interpretaciones geométricas de los productos punto y cruz:

El producto escalar de A y B es la longitud de la proyección de A sobre B multiplicada por la longitud de B (o al revés, es conmutativa).

La magnitud del producto vectorial es el área del paralelogramo con dos lados A y B. La orientación del producto vectorial es ortogonal al plano que contiene este paralelogramo.

¿Por qué no se pueden dividir los vectores?

¿Cómo definirías el inverso de un vector tal que$\mathbf{v} \times \mathbf{v}^{-1} = \mathbf{1}$? ¿Cuál sería el "vector de identidad"$\mathbf{1}$?

De hecho, la respuesta es que a veces se puede . En particular, en dos dimensiones, puedes hacer una correspondencia entre vectores y números complejos, donde las partes real e imaginaria del número complejo dan las coordenadas (x,y) del vector. La división está bien definida para los números complejos.

El producto cruzado solo existe en 3D.

La división también se define en algunos espacios de dimensiones superiores (como los cuaterniones ), pero solo si renuncia a la conmutatividad y/o la asociatividad.

---

Aquí hay una ilustración de los significados geométricos de punto y producto cruzado, del artículo de wikipedia para producto punto y artículo de wikipedia para producto cruzado :

La mejor manera es ignorar la basura que los autores ponen en los libros de física elemental y definirla con tensores. Un tensor es un objeto que se transforma como un producto de vectores bajo rotaciones. De manera equivalente, se puede definir mediante funciones lineales de (conjuntos de vectores) y (funciones lineales de conjuntos de vectores), todo esto se describe en Wikipedia.

Hay exactamente dos tensores que son invariantes bajo rotaciones:

$\delta_{ij}$y$\epsilon_{ijk}$

Todos los demás tensores que son invariantes bajo rotaciones son productos y trazas de tensores de estos. Estos tensores definen el "producto punto" y el "producto cruzado", ninguno de los cuales es una buena noción de producto:

$V \cdot U = V^i U^j \delta_{ij}$

y producto cruzado

$(V \times U)_k = V^i U^j \epsilon_{ijk}$

No tiene sentido tratar de pensar en el producto cruz como un "producto", porque no es asociativo,$(A\times B)\times C$no es igual$A\times(B\times C)$. También es menos que útil pensar en el producto escalar como un producto en el sentido habitual, porque convierte pares de vectores en números, y$(A\cdot B)C$no es igual$A(B\cdot C)$, porque el primero apunta en la dirección C y el segundo apunta en la dirección A.

La mejor manera es acostumbrarse a los tensores invariantes. Estos se generalizan a dimensiones arbitrarias, son mucho más claros y no requieren una regla de la mano derecha (esto lo soluciona la convención de orden de índice). No encontrará un solo artículo de física que use el producto cruzado, con la única excepción del artículo de Feynman de 1981 "el comportamiento cualitativo de la teoría de Yang-Mills en 2 + 1 dimensiones", e incluso si lo hace, es trivial para traducir.

Puede dividir vectores con álgebra de Clifford ("geométrica").

El producto geométrico de vectores es asociativo:

$$abc = (ab)c = a(bc)$$

Y el producto geométrico de un vector consigo mismo es un escalar.

$$aa = |a|^2$$

Estas son todas las propiedades requeridas para definir un producto único de vectores. Todas las demás propiedades se pueden derivar. Sin embargo, los resumiré: para dos vectores, el producto geométrico se casa con los productos punto y cruz.

$$ab = a \cdot b + a \wedge b$$

Usamos cuñas en lugar de cruces porque este segundo término no es un vector. Lo llamamos bivector y representa un plano orientado. Puede ser instructivo introducir una base para ver esto.$e_1 e_1 = e_2 e_2 = 1$y$e_1 e_2 = -e_2 e_1$capturar las propiedades del producto geométrico para estos vectores de base ortonormales. El producto geométrico es entonces,

$$ab = (a^1 e_1 + a^2 e_2) (b^1 e_1 + b^2 e_2) = (a^1 b^1 + a^2 b^2) + (a^1 b^2 - a^2 b^1) e_1 e_2$$

Como decía, el producto geométrico de dos vectores es invertible en el espacio euclidiano. Esto es obvio a partir de la propiedad de asociatividad:$a b b^{-1} = a(b b^{-1}) = a$. Que$b b^{-1} = 1$implica que

$$b^{-1} = b/|b|^2$$

Es informativo mirar la cantidad.$a = (a b) b^{-1}$, usando la agrupación para descomponerlo de otra manera.

$$a = (ab)b^{-1} = (a \cdot b) b^{-1} + (a \wedge b) \cdot b^{-1}$$

El primer término está en la dirección de$b$, el segundo es ortogonal a$b$. esto se descompone$a$dentro$a_\parallel$y$a_\perp$.

Lo que otros han dicho es correcto, no se puede definir solo el producto vectorial vectorial para que sea invertible. Esta descomposición debería convencerlo: no puede reconstruir completamente un vector sin información de los productos punto y cruz. Y como se ha dicho, este producto no es conmutativo.

Si vas a definir la división de vectores, vas a tener que definir sobre qué campo de multiplicación vas a definir la división: Para números ordinarios, pienso en$\frac{x}{y}$como el número que, cuando se multiplica por$y$, da$x$. Asi que,$\frac{\vec x}{\vec y}$tendría que ser el vector que, al ser "multiplicado" por$\vec y$, da$\vec x$. Si nuestro campo de multiplicación es el producto escalar, ya estamos en problemas, porque el producto escalar de dos vectores es un escalar y, por lo tanto, la definición anterior requeriría$\frac{\vec x}{\vec y}$ser simultáneamente un vector y un escalar.

De manera similar, si nuestra operación es el producto cruz, entonces sabemos que, para cualquier vector$\vec x$y$\vec y$y cualquier escalar$c$, tenemos${\vec x} \times {\vec y} = {\vec x}\times \left({\vec y} + c{\vec x}\right)$, por lo que esto significa que hay un número infinito de vectores que satisfacen la propiedad "cuando se cruzan por$\vec y$, da$\vec x$". Por lo tanto, la división sobre el producto vectorial no es única.

Además de la respuesta de nibot: dividir algo es encontrar una parte de algo. En el caso de un vector, su parte tiene la misma dirección pero una longitud menor. Entonces es natural dividir vectores por números, no por vectores.

Esos productos de puntos y cruces no son productos simples porque dependen no solo de las longitudes sino también de las orientaciones. Se llaman correspondencias entre un par de vectores y números o vectores.

Otra respuesta más intuitiva a su pregunta (matemáticos: miren hacia otro lado) es pensar en los productos punto (AB = ABcosθ) y cruz (AxB = ABsinθ) como formas simples de medir los grados de paralelismo de los vectores versus la perpendicularidad (ortogonalidad) de vectores , en el sentido de que:

• El producto escalar de vectores unitarios paralelos, UU, produce un número UU cos 0 = 1 (o un número de valor A*B para vectores de longitudes vectoriales arbitrarias) mientras que para vectores ortogonales (perpendiculares) siempre es cero, ya que cos 90°=0

• Por el contrario, el producto vectorial de vectores unitarios paralelos es de magnitud 0 (como sen 0°=0) mientras que el de vectores unitarios ortogonales es 1 (o magnitud AxB para longitudes arbitrarias); pero en este caso, el resultado se asigna a un vector , que debe ser perpendicular al plano definido por los vectores de entrada A y B (no hay una forma obvia de asignarle una dirección dentro del plano definido por A y B). Y reconozca también que el producto cruzado gana un sentido de lateralidad como AxB = -BxA, lo que resulta útil (ejemplo a continuación).

Por supuesto, es el uso de seno y coseno lo que determina la forma en que estas medidas varían de 0 a 1 para vectores unitarios; imagínense los valores de los productos cambiando al pensar en los vectores A y B rotando hacia o desde el otro para cada tipo de producto.

En lo que respecta a la importancia física (e ignorando los conocimientos más profundos disponibles a través de Clifford Algebra, etc.), estos "productos" resultan útiles en tantas situaciones que su importancia física a menudo se da por sentado, en lugar de enfatizarse (y tal vez esto subyace a su pregunta).

Para el producto escalar: por ejemplo, en mecánica, el valor escalar de la potencia es el producto escalar de los vectores Fuerza y ​​Velocidad (como arriba, si los vectores son paralelos, la fuerza contribuye completamente a la potencia; si es perpendicular a la dirección del movimiento , la fuerza no contribuye a la potencia, y es la función cos la que varía a medida que varía la longitud de la proyección del vector de fuerza en el vector de velocidad; por lo que no está definido arbitrariamente ).

Para el producto cruzado : por ejemplo, momento angular, L = rxp (todos los vectores), por lo que parece perfectamente intuitivo que el vector resultante del producto cruzado se alinee con el eje de rotación involucrado, perpendicular al plano definido por los vectores de radio y momento. (que en este ejemplo serán normalmente perpendiculares entre sí, por lo que la magnitud de rp*sin90°= rp). Y si la dirección de rotación cambia, el signo del vector de cantidad de movimiento se invierte y, por lo tanto, el vector de producto cruzado L también cambia de signo (de ahí la utilidad de transformar el producto cruzado en un vector).

Sin embargo, tenga en cuenta que también puede calcular el número resultante de AB*sinθ (en lugar de mapearlo en un vector perpendicular). Es solo el área del paralelogramo que está definida por los vectores A y B en el producto vectorial.

Por cierto, no hay nada que le impida mapear el producto punto en un vector perpendicular, si así lo desea, pero probablemente no sea útil hacerlo en física.

En cuanto a la división, eso es un poco más técnico y se trata bien en las respuestas anteriores. También hay una discusión accesible en https://www.quora.com/Can-we-divide-a-vector-by-a-vector-and-why

Espero que esto sea de alguna ayuda para los miembros menos expertos.

Para productos usted tiene las respuestas. Para la división te recomiendo leer más sobre cuaterniones . La interpretación de vectores en términos de cuaterniones permite más álgebra de alcance que el propio espacio vectorial.

Un poco de matemática aquí. Para una definición natural de división, necesita al menos un anillo de división (uno puede comentar que el álgebra de división es suficiente, luego agregue octoniones a mi respuesta). Existe un teorema de que los únicos anillos de división de dimensión finita son los reales, los complejos y los cuaterniones. Los vectores son espacios vectoriales en tres dimensiones. Entonces, cualquier división de vectores tridimensionales será "antinatural".

La pregunta "¿qué hace$\vec{a}/\vec{b}$igual?" es equivalente a preguntar "¿Con qué multiplicas$\vec b$Llegar$\vec a$?" -- la respuesta es una matriz, asumiendo que la multiplicación implica alguna contracción posterior. De manera equivalente, multiplicas y contraes un tensor (1, 0)$b^\mu$por un tensor (1,1)$A_\mu^\nu$para obtener un tensor (0,1)$b^\nu$.

Pero hay múltiples matrices que puedes multiplicar$\vec b$por conseguir$\vec a$. En dos dimensiones, necesita dos conjuntos de "esto se asigna a esto" (y el conocimiento de que el mapeo es lineal) para precisar cuál es el mapeo lineal. en general en$n$dimensiones, usted necesita$n$tales vectores, por lo que en lugar de dividir vectores, divide conjuntos de vectores , estos se llaman matrices.

Dividir un escalar o un vector entre un vector es una operación útil. Es un producto externo (también conocido como producto tensorial). Por ejemplo, considere el diferencial de Leibniz expresado usando los vectores base$\hat{\mathfrak{e}}^i$:

$$d\mathit{f}=\nabla [\mathit{f}]\cdot d\mathfrak{x}=\frac{\partial \mathit{f}}{\partial x^i}dx^i$$

$$\approx\frac{\Delta \mathit{f}}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i\cdot \Delta \mathfrak{x}$$

$$=\Delta \mathit{f}\left(\frac{1}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i\cdot \Delta \mathfrak{x}\right)$$

$$=\frac{\Delta \mathit{f}}{\Delta \mathfrak{x}}\cdot \Delta \mathfrak{x}.$$

Asi que$\frac{1}{\Delta x^i}\hat{\mathfrak{e}}^i=\frac{1}{\Delta \mathfrak{x}}$es un vector Por supuesto que tenemos que definir nuestra salida de$\frac{1}{\Delta x^i=0}.$

Ahora si tenemos la función con valores vectoriales$\vec{\mathit{f}}\left[\mathfrak{x}\right]$podemos escribir$\frac{d\vec{\mathit{f}}}{d\mathfrak{x}},$que se llama matriz derivada. Si es cuadrada, a menudo se la llama matriz jacobea.