Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas

Question

Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas

DanielSank

Considere un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales acopladas

({[\begin{matrix} Ω \end{matrix}]}^{- 1} + \frac{d^{2}}{d t^{2}}) \vec{V} (t) = {[\begin{matrix} C \end{matrix}]}^{- 1} \vec{j} (t) + {[\begin{matrix} Ω \end{matrix}]}^{- 1} \vec{k} (t)

$\left( \begin{bmatrix} \Omega \end{bmatrix}^{-1} + \frac{d^2}{dt^2} \right) \vec{V}(t) = \begin{bmatrix} C \end{bmatrix}^{-1} \vec{J}(t) + \begin{bmatrix} \Omega \end{bmatrix}^{-1} \vec{K}(t)$ dónde

\vec{V} (t)

$\vec{V}(t)$ es un vector de dos elementos que describe el grado de libertad del sistema,

\vec{J} (t)

$\vec{J}(t)$ y

\vec{K} (t)

$\vec{K}(t)$ son fuentes de impulso, y

[Ω]^{- 1}

$[\Omega]^{-1}$ y

[C]^{- 1}

$[C]^{-1}$ son matrices constantes de 2x2. Este sistema representa dos resonadores armónicos acoplados con fuerzas impulsoras dependientes del tiempo (pero independientes de la posición). Por lo que sea que valga, supongamos que podemos descomponer

[Ω]^{- 1}

$[\Omega]^{-1}$ como

[Ω]^{- 1} = [C]^{- 1} [L]^{- 1}

$[\Omega]^{-1} = [C]^{-1}[L]^{-1}$ dónde

[L]^{- 1}

$[L]^{-1}$ es otra matriz de 2x2

^{[1]}

$^{[1]}$ . Ambos

[L]

$[L]$ y

[C]

$[C]$ son simétricos.

¿Existe una forma sistemática de encontrar el Lagrangiano para este sistema de ecuaciones?

[1]: Ambos $[C]$ y $[L]$ tienen la propiedad de que sus elementos fuera de la diagonal son más pequeños que sus elementos diagonales, lo que probablemente sea útil para las aproximaciones.

Cosmas Zachos

¿Está hablando de dos osciladores impulsados acoplados con dos fuerzas impulsoras independientes de la posición pero dependientes del tiempo?

qmecanico

¿Son las matrices (anti)simétricas?

StephenG - Ayuda Ucrania

Son

Ω

$\Omega$ y

C

$C$ ¿Depende del tiempo o la posición o son solo constantes? Realmente necesita ser más específico acerca de todas las cantidades.

DanielSank

@CosmasZachos sí.

DanielSank

@qmecanico

[L]

$[L]$ y

[C]

$[C]$ ambos son simétricos. He actualizado la publicación.

DanielSank

@StephenG actualizó la publicación. Por cierto, es mejor dejarle saber al autor dónde hay una falta de claridad sin la amonestación generalizada.

Cosmas Zachos

..pero Ω no es simétrico?

Cosmas Zachos

Parece que podría utilizar la congruencia de manera rentable.

Respuestas (1)

Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas

¿Está hablando de dos osciladores impulsados acoplados con dos fuerzas impulsoras independientes de la posición pero dependientes del tiempo?
Son $\Omega$ y $C$ ¿Depende del tiempo o la posición o son solo constantes? Realmente necesita ser más específico acerca de todas las cantidades.
@qmecanico $[L]$ y $[C]$ ambos son simétricos. He actualizado la publicación.
@StephenG actualizó la publicación. Por cierto, es mejor dejarle saber al autor dónde hay una falta de claridad sin la amonestación generalizada.
Parece que podría utilizar la congruencia de manera rentable.

Frobenius · Answer 1

$\boldsymbol{\S}$ A. Un caso especial: simétrico $\Omega^{\boldsymbol{-}1}$

Deja el $2\times2$ matrices simétricas reales

\begin{matrix} (A-01) & C^{- 1} = [\begin{matrix} ξ_{1} & ξ \\ ξ & ξ_{2} \end{matrix}] y L^{- 1} = [\begin{matrix} η_{1} & η \\ η & η_{2} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} C^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \xi_1 & \xi \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \xi &\xi_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad L^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \eta_1 & \eta \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \eta &\eta_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{A-01}\label{A-01} \end{equation}$ Entonces

\begin{matrix} (A-02) & Ω^{- 1} = C^{- 1} L^{- 1} = [\begin{matrix} ξ_{1} η_{1} + ξ η & ξ_{1} η + ξ η_{2} \\ ξ η_{1} + ξ_{2} η & ξ η + ξ_{2} η_{2} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \Omega^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=}C^{\boldsymbol{-}1}L^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \xi_1\eta_1 \boldsymbol{+} \xi\eta & \xi_1\eta \boldsymbol{+} \xi\eta_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{_1}\hphantom{_2}\xi\eta_1 \boldsymbol{+} \xi_2\eta & \hphantom{_1}\hphantom{_2}\xi\eta \boldsymbol{+}\xi_2\eta_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{A-02}\label{A-02} \end{equation}$ Con respecto a las coordenadas

\begin{matrix} (A-03) & V = [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{V} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} V_1\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ V_2\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{A-03}\label{A-03} \end{equation}$
las dos ecuaciones acopladas son

\begin{matrix} (A-04) & \frac{d}{d t} (\dot{V}) - (C^{- 1} j + Ω^{- 1} k - Ω^{- 1} V) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf{\dot{V}}\right)\boldsymbol{-}\left(C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\boldsymbol{+}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K}\boldsymbol{-}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\boldsymbol{=}\boldsymbol{0} \tag{A-04}\label{A-04} \end{equation}$ Ahora, si existe un Lagrangiano

L (V, \dot{V}, t)

$\mathrm L\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)$ para el problema, entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange son

\begin{matrix} (A-05) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{V}}) - \frac{\partial L}{\partial V} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{\dot{V}}}\right)\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{V}}\boldsymbol{=}\boldsymbol{0} \tag{A-05}\label{A-05} \end{equation}$ dónde

\begin{matrix} (A-06) & \frac{\partial L}{\partial V} = [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial V_{1}} \\ \frac{\partial L}{\partial V_{2}} \end{matrix}] y \frac{\partial L}{\partial \dot{V}} = [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial {\dot{V}}_{1}} \\ \frac{\partial L}{\partial {\dot{V}}_{2}} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{V}}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial V_1} \vphantom{\dfrac{a}{\dfrac{a}{b}}}\\ \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial V_2} \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{\dot{V}}}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \dot{V}_1} \vphantom{\dfrac{a}{\dfrac{a}{b}}}\\ \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \dot{V}_2} \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{A-06}\label{A-06} \end{equation}$ Comparando ecuaciones

(A-04)

$\eqref{A-04}$ y

(A-05)

$\eqref{A-05}$ observamos que el lagrangiano

L (V, \dot{V}, t)

$\mathrm L\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)$ debe satisfacer, excepto constantes, las siguientes dos ecuaciones

\begin{aligned} (A-07a) & \frac{\partial L}{\partial \dot{V}} & = \dot{V} \\ (A-07b) & \frac{\partial L}{\partial V} & = C^{- 1} j + Ω^{- 1} k - Ω^{- 1} V \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{\dot{V}}} & \boldsymbol{=}\mathbf{\dot{V}}\vphantom{\dfrac{a}{\dfrac{a}{b}}} \tag{A-07a}\label{A-07a}\\ \dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \mathbf{V}} & \boldsymbol{=}C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\boldsymbol{+}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K}\boldsymbol{-}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V} \tag{A-07b}\label{A-07b} \end{align}$ De la ecuación

(A-07a)

$\eqref{A-07a}$ y en parte debido a los dos primeros términos en la derecha de la ecuación

(A-07b)

$\eqref{A-07b}$ notamos que una parte

L_{1} (V, \dot{V}, t)

$\mathrm L_1\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)$ del lagrangiano sería

\begin{matrix} (A-08) & L_{1} (V, \dot{V}, t) = \frac{1}{2} (\dot{V} \cdot \dot{V}) + [(C^{- 1} j) \cdot V] + [(Ω^{- 1} k) \cdot V] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm L_1\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)\boldsymbol{=}\frac12\left(\mathbf{\dot{V}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{V}}\right)\boldsymbol{+}\left[\left(C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right] \tag{A-08}\label{A-08} \end{equation}$ mientras que una segunda parte

L_{2} (V, \dot{V}, t)

$\mathrm L_2\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)$ del Lagrangiano debe satisfacer la ecuación

\begin{matrix} (A-09) & \frac{\partial L_{2}}{\partial V} = - Ω^{- 1} V \end{matrix}

$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathrm L_2}{\partial \mathbf{V}} \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V} \tag{A-09}\label{A-09} \end{equation}$ Si la matriz

Ω^{- 1}

$\Omega^{\boldsymbol{-}1}$ de ecuación

(A-02)

$\eqref{A-02}$ es simétrica, es decir si los elementos de las matrices

C^{- 1}

$C^{\boldsymbol{-}1}$ y

L^{- 1}

$L^{\boldsymbol{-}1}$ satisfacer la condición

\begin{matrix} (A-10) & (ξ_{1} - ξ_{2}) η = (η_{1} - η_{2}) ξ \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\xi_1\boldsymbol{-}\xi_2\right)\eta\boldsymbol{=}\left(\eta_1\boldsymbol{-}\eta_2\right)\xi \tag{A-10}\label{A-10} \end{equation}$ entonces

\begin{matrix} (A-11) & L_{2} (V, \dot{V}, t) = - \frac{1}{2} [(Ω^{- 1} V) \cdot V] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm L_2\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right) \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\frac12\left[\left(\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right] \tag{A-11}\label{A-11} \end{equation}$ y entonces

\begin{aligned} L (V, \dot{V}, t) = L_{1} (V, \dot{V}, t) + L_{2} (V, \dot{V}, t) para simétrico Ω^{- 1} \\ (A-12) & = \frac{1}{2} (\dot{V} \cdot \dot{V}) - \frac{1}{2} [(Ω^{- 1} V) \cdot V] + [(C^{- 1} j) \cdot V] + [(Ω^{- 1} k) \cdot V] \end{aligned}

$\begin{align} &\mathrm L\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right) \boldsymbol{=}\mathrm L_1\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)\boldsymbol{+}\mathrm L_2\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right) \qquad \textbf{for symmetric } \Omega^{\boldsymbol{-}1} \nonumber\\ & \boldsymbol{=}\frac12\left(\mathbf{\dot{V}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{V}}\right)\boldsymbol{-}\frac12\left[\left(\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{V}\right] \tag{A-12}\label{A-12} \end{align}$

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

$\boldsymbol{\S}$ B. El caso general: una forma sistemática de encontrar el Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas

Los esfuerzos para encontrar un Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas (como en la pregunta) no tendrían éxito debido a la llamada $^{\prime\prime}$ términos cruzados $^{\prime\prime}$ que aparecen en un paso intermedio, por ejemplo términos como $V_1 V_2, \dot{V}_1 \dot{V}_2, \dot{V}_1 V_2$ etc. Estos términos "acoplan" las dos ecuaciones. Así que debemos encontrar un método para eliminar términos de este tipo. Esto nos dará primero dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden desacopladas y luego un Lagrangiano bien definido.

Debido a la linealidad hacemos un cambio de las variables de edad $V_1, V_2$ a la nueva $q_1, q_2$ a través de una transformación lineal

\begin{aligned} (B-01a) & V_{1} & = a_{11} q_{1} + a_{12} q_{2} \\ (B-01b) & V_{2} & = a_{21} q_{1} + a_{22} q_{2} \end{aligned}

$\begin{align} V_1 & \boldsymbol{=}a_{11}q_1\boldsymbol{+}a_{12}q_2 \tag{B-01a}\label{B-01a}\\ V_2 & \boldsymbol{=}a_{21}q_1\boldsymbol{+}a_{22}q_2 \tag{B-01b}\label{B-01b} \end{align}$ o

\begin{matrix} (B-02) & V = [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} {pag}_{1} \\ {pag}_{2} \end{matrix}] = A q \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{V}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} V_1\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ V_2\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_{21} & a_{22}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ p_2\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \boldsymbol{=}A\mathbf{q} \tag{B-02}\label{B-02} \end{equation}$
eso es

\begin{matrix} (B-03) & V = A q, A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{V}\boldsymbol{=}A\mathbf{q} \,,\qquad A\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_{21} & a_{22}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{B-03}\label{B-03} \end{equation}$ e intentaremos encontrar, si existe, una transformación invertible

A

$\:A\:$ eso elimina los términos cruzados y desacopla las dos ecuaciones.

Si en nuestra ecuación inicial

\begin{matrix} (B-04) & \ddot{V} + Ω^{- 1} V = C^{- 1} j + Ω^{- 1} k \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{\ddot{V}}\boldsymbol{+}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\boldsymbol{=}C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\boldsymbol{+}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K} \tag{B-04}\label{B-04} \end{equation}$ aplicamos desde la izquierda la transformación

A^{- 1}

$\:A^{\boldsymbol{-}1}\:$ tenemos

\begin{matrix} (B-05) & A^{- 1} \ddot{V} + A^{- 1} Ω^{- 1} V = A^{- 1} C^{- 1} j + A^{- 1} Ω^{- 1} k \end{matrix}

$\begin{equation} A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{\ddot{V}}\boldsymbol{+}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\boldsymbol{+}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K} \tag{B-05}\label{B-05} \end{equation}$ Haciendo uso de

(B-03)

$\eqref{B-03}$ reemplazamos

V

$\:\mathbf{V}\:$ por

A q

$\:A\mathbf{q}\:$ entonces

A^{- 1} (A \ddot{q}) + A^{- 1} Ω^{- 1} (A q) = A^{- 1} C^{- 1} j + A^{- 1} Ω^{- 1} k

$\begin{equation} A^{\boldsymbol{-}1}\left(A\mathbf{\ddot{q}}\right)\boldsymbol{+}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\left(A\mathbf{q}\right)\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\boldsymbol{+}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K} \nonumber \end{equation}$ eso es

\begin{matrix} (B-06) & \ddot{q} + (A^{- 1} Ω^{- 1} A) q = (A^{- 1} C^{- 1} A) j + (A^{- 1} Ω^{- 1} A) k \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{\ddot{q}}\boldsymbol{+}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1} A\right)\mathbf{q}\boldsymbol{=}\left(A^{\boldsymbol{-}1}C^{\boldsymbol{-}1 }A\right)\mathbf{j}\boldsymbol{+}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1 }A\right)\mathbf{k} \tag{B-06}\label{B-06} \end{equation}$ o

\begin{aligned} (B-07a) & \ddot{q} + W q = tu j + W k \\ dónde \\ (B-07b) & W = A^{- 1} Ω^{- 1} A, tu = A^{- 1} C^{- 1} A, j = A^{- 1} j, k = A^{- 1} k \end{aligned}

$\begin{align} &\mathbf{\ddot{q}}\boldsymbol{+}W\,\mathbf{q} \boldsymbol{=}U\,\mathbf{j}\boldsymbol{+}W\,\mathbf{k} \tag{B-07a}\label{B-07a}\\ &\text{where} \nonumber\\ &W\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}A\,, \quad U\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}C^{\boldsymbol{-}1}A\,, \quad \mathbf{j}\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\,,\quad \mathbf{k}\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K} \tag{B-07b}\label{B-07b} \end{align}$ Ahora, las dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

(B-07a)

$\eqref{B-07a}$ estaría desacoplada si la matriz

W

$\:W\:$ podría ser diagonal

\begin{matrix} (B-08) & W = A^{- 1} Ω^{- 1} A = [\begin{matrix} w_{1} & 0 \\ 0 & w_{2} \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{equation} W\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1 }A\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \mathrm w_1 & 0 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ 0 & \mathrm w_2\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{B-08}\label{B-08} \end{equation}$ Este desacoplamiento se muestra explícitamente a continuación.

\begin{aligned} (B-09a) & {\ddot{q}}_{1} + w_{1} {pag}_{1} & = {(tu j)}_{1} + {(W k)}_{1} \\ (B-09b) & {\ddot{q}}_{2} + w_{2} {pag}_{2} & = {(tu j)}_{2} + {(W k)}_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{q}_1\boldsymbol{+}\mathrm w_1 p_1 &\boldsymbol{=}\left(U\,\mathbf{j}\right)_1 \boldsymbol{+}\left(W\,\mathbf{k}\right)_1 \tag{B-09a}\label{B-09a}\\ \ddot{q}_2\boldsymbol{+}\mathrm w_2 p_2 &\boldsymbol{=}\left(U\,\mathbf{j}\right)_2 \boldsymbol{+}\left(W\,\mathbf{k}\right)_2 \tag{B-09b}\label{B-09b} \end{align}$ Estos dos independientes

^{''}

$^{\prime\prime}$ mociones

^{''}

$^{\prime\prime}$ se denominan modos normales y las variables

q_{1}, q_{2}

$q_1,q_2$ coordenadas normales .

Ahora, desde $\eqref{B-08}$ las constantes $\:\mathrm w_1,\mathrm w_2\:$ son los valores propios de la matriz $\:\Omega^{\boldsymbol{-}1}\:$ mientras que las columnas de la matriz $\:A\:$ son los vectores propios respectivamente

\begin{aligned} (B-10a) & a_{1} & = [\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \end{matrix}] = vector propio de valor propio w_{1} \\ (B-10b) & a_{2} & = [\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \end{matrix}] = vector propio de valor propio w_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{a}_1 & \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} a_{11} \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_{21} \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}\boldsymbol{=}\text{eigenvector of eigenvalue } \mathrm w_1 \tag{B-10a}\label{B-10a}\\ \mathbf{a}_2 & \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} a_{12} \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_{22} \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}\boldsymbol{=}\text{eigenvector of eigenvalue } \mathrm w_2 \tag{B-10b}\label{B-10b} \end{align}$ Tenga en cuenta que dependiendo de la matriz

Ω^{- 1}

$\:\Omega^{\boldsymbol{-}1}\:$ los valores propios

w_{1}, w_{2}

$\:\mathrm w_1,\mathrm w_2\:$ pueden ser tanto reales como complejos conjugados.

Ahora, dado que la matriz diagonal $\:W\:$ es simétrico hacemos uso de los resultados de A y construimos el Lagrangiano para las ecuaciones de Euler-Lagrange $\eqref{B-09a}$ , $\eqref{B-09b}$ según la ecuación $\eqref{A-12}$

\begin{matrix} (B-11) & L (q, \dot{q}, t) = \frac{1}{2} (\dot{q} \cdot \dot{q}) - \frac{1}{2} [(W q) \cdot q] + [(tu j) \cdot q] + [(W k) \cdot q] \end{matrix}

$\begin{equation} \mathrm L\left(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t\right) \boldsymbol{=} \tfrac12\left(\mathbf{\dot{q}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{q}}\right)\boldsymbol{-}\tfrac12\left[\left(W\mathbf{q}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{q}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(U\mathbf{j}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{q}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(W\mathbf{k}\right)\boldsymbol{\cdot}\mathbf{q}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right] \tag{B-11}\label{B-11} \end{equation}$ Explícitamente

\begin{aligned} (B-12) & L (q, \dot{q}, t) & = \frac{1}{2} ({\dot{q}}_{1}^{2} + {\dot{q}}_{2}^{2}) - \frac{1}{2} (w_{1} q_{1}^{2} + w_{2} q_{2}^{2}) \\ + [{(tu j)}_{1} + {(W k)}_{1}] q_{1} + [{(tu j)}_{2} + {(W k)}_{2}] q_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm L\left(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t\right) & \boldsymbol{=} \tfrac12\left(\dot{q}^2_1\boldsymbol{+}\dot{q}^2_2\right)\boldsymbol{-}\tfrac12\left(\mathrm w_1 q^2_1\boldsymbol{+}\mathrm w_2 q^2_2\right) \tag{B-12}\label{B-12}\\ &\boldsymbol{+} \left[\left(U\mathbf{j}\right)_1\boldsymbol{+}\left(W\mathbf{k}\right)_1\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]q_1\boldsymbol{+} \left[\left(U\mathbf{j}\right)_2\boldsymbol{+}\left(W\mathbf{k}\right)_2\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]q_2 \nonumber \end{align}$ Tenga en cuenta que el lagrangiano anterior no contiene

^{''}

$^{\prime\prime}$ términos cruzados

^{''}

$^{\prime\prime}$ como

q_{1} q_{2}, {\dot{q}}_{1} {\dot{q}}_{2}, {\dot{q}}_{1} q_{2}

$q_1 q_2, \dot{q}_1 \dot{q}_2, \dot{q}_1 q_2$ etc. Uso de este Lagrangiano en las siguientes ecuaciones

\begin{aligned} (B-13a) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{1}} = 0 \\ (B-13b) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{2}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{2}} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \dot{q}_1}\right)\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial q_1}\boldsymbol{=}0 \tag{B-13a}\label{B-13a}\\ \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial \dot{q}_2}\right)\boldsymbol{-}\dfrac{\partial \mathrm L}{\partial q_2}\boldsymbol{=}0 \tag{B-13b}\label{B-13b} \end{align}$ produce ecuaciones

(B-09a)

$\eqref{B-09a}$ y

(B-09b)

$\eqref{B-09b}$ como se esperaba.

Ahora, basado en $\eqref{B-11}$ podemos construir el lagrangiano $\:\mathrm L\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)\:$ para las coordenadas iniciales $\:V_1,V_2\:$ de $\:\mathrm L\left(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t\right)$ . Simplemente reemplazamosporen $\eqref{B-11}$ y tenemos

\begin{aligned} (B-14) & L (V, \dot{V}, t) = \\ \frac{1}{2} [(A^{- 1} \dot{V}) \cdot (A^{- 1} \dot{V})] - \frac{1}{2} [(A^{- 1} Ω^{- 1} V) \cdot (A^{- 1} V)] \\ + [(A^{- 1} C^{- 1} j) \cdot (A^{- 1} V)] + [(A^{- 1} Ω^{- 1} k) \cdot (A^{- 1} V)] \end{aligned}

$\begin{align} &\mathrm L\left(\mathbf{V},\mathbf{\dot{V}},t\right)\boldsymbol{=} \tag{B-14}\label{B-14}\\ &\tfrac12\left[\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{\dot{V}}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{\dot{V}}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]\boldsymbol{-}\tfrac12\left[\left(A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right] \nonumber\\ &\boldsymbol{+}\left[\left(A^{\boldsymbol{-}1}C^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{J}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right]\boldsymbol{+}\left[\left(A^{\boldsymbol{-}1}\Omega^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{K}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{V}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}\right] \nonumber \end{align}$ Si

Ω^{- 1}

$\:\Omega^{\boldsymbol{-}1}\:$ es (real) simétrico entonces el Lagrangiano de

(B-14)

$\eqref{B-14}$ debe ceder la de

(A-12)

$\eqref{A-12}$ . Pero estas dos expresiones son muy diferentes y parece que aquí tenemos una contradicción. Pero no hay contradicción: en caso de matriz simétrica

Ω^{- 1}

$\:\Omega^{\boldsymbol{-}1}\:$ los valores propios

w_{1}, w_{2}

$\:\mathrm w_1,\mathrm w_2\:$ ambos son reales, los vectores propios

a_{1}, a_{2}

$\:\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$ de ecuaciones

(B-10a)

$\eqref{B-10a}$ ,

(B-10b)

$\eqref{B-10b}$ son ortogonales y la matriz

A

$\:A\:$ de ecuaciones

(B-02)

$\eqref{B-02}$ ,

(B-03)

$\eqref{B-03}$ es ortogonal. Para esta matriz tenemos

A^{- 1} = A^{⊤} = transpose of A

$\:A^{\boldsymbol{-}1}\boldsymbol{=}A^{\boldsymbol{\top}}\boldsymbol{=}\text{transpose of }A$ . reemplazando

A^{- 1}

$\:A^{\boldsymbol{-}1}\:$ por

A^{⊤}

$\:A^{\boldsymbol{\top}}\:$ la expresion

(B-14)

$\eqref{B-14}$ se vuelve idéntico a

(A-12)

$\eqref{A-12}$ .En otras palabras, desde

A^{- 1}

$\:A^{\boldsymbol{-}1}\:$ también es ortogonal, deja invariante el producto interno de dos vectores, por lo que en

(B-14)

$\eqref{B-14}$ Podríamos reemplazar cualquier producto interno.

(A^{- 1} x) \cdot (A^{- 1} y)

$\:\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{x}\right)\boldsymbol{\cdot}\left(A^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{y}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}\:$ por

(x \cdot y)

$\:\left(\mathbf{x}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{y}\right)\vphantom{\dfrac{a}{b}}$ .

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

Relacionado 1: Derivación de la densidad lagrangiana del campo electromagnético .

Relacionado 2: La densidad lagrangiana de la ecuación de Schroedinger .

Relacionado 3: Obtener el Lagrangiano del sistema de ecuaciones acopladas .

Solo una nota amistosa de que la única razón por la que no he respondido todavía es porque quiero prestarle la debida atención a su respuesta. Intentaré darle una lectura completa en los próximos días.
Frobenius, noté que editaste esta respuesta 21 veces, lo cual es mucho más de lo normal y puede ser perjudicial cuando la pregunta aparece repetidamente en la parte superior de la página principal. En general, la mayoría de las publicaciones no deben editarse más de una o dos veces. En el futuro, ¿podría abstenerse de editar esta publicación a menos que realmente lo necesite? Si tiene que hacer cambios pequeños u opcionales, guárdelos y agréguelos junto con su próxima edición principal e importante.
@Frobenius Gracias. Sugeriría que no termine en una situación en la que tenga que agregar cosas nuevas día a día. En lugar de editar contenido nuevo en la respuesta todos los días, solo mantenga un archivo de texto en su computadora que actualice cada vez, y luego, cuando haya terminado con los cambios, realice una gran edición en la respuesta que aplique todos los cambios que desea. he acumulado.
Aceptado porque comprobé que la respuesta es correcta en el caso simétrico. ¡Gracias!

Lagrangiano para dos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas

DanielSank

Cosmas Zachos

qmecanico

StephenG - Ayuda Ucrania

DanielSank

DanielSank

DanielSank

Cosmas Zachos

Cosmas Zachos

Respuestas (1)

Frobenius

DanielSank

david z

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DanielSank

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