Multiplicadores de Lagrange frente a coordenadas generalizadas

Cuando me vi obligado a explicarle a alguien por qué se podía configurar un Lagrangiano general y luego incorporar restricciones usando multiplicadores de Lagrange, en lugar de simplemente configurar un Lagrangiano con coordenadas generalizadas incorporadas desde el principio, descubrí que no podía hacerlo. En realidad, no sé por qué uno puede usar cualquiera de los métodos, aparte de que aparentemente funciona. ¿Hay algún teorema o alguna sustitución que diga que cualquiera de los métodos es válido, o es simplemente sorprendentemente obvio y me lo estoy perdiendo?

Volví a revisar uno de mis cursos de video donde el chico resuelve un problema usando tres métodos diferentes, pero nunca menciona por qué son equivalentes, revisé los libros de mecánica y cálculo de variaciones para encontrar una explicación y también revisé las publicaciones en este foro. como en otros foros, pero parece que me lo he perdido, por lo que realmente agradecería cualquier comentario y referencia de ustedes sobre esto. ¡Gracias por leer!