Cuando se cuantifica canónicamente el campo electromagnético en el indicador de Lorenz, el conmutador de tiempo igual se escribe como:
[Am(X⃗ , t ) ,πv(y⃗ , t ) ] = yogramoμ νd3(X⃗ −y⃗ ) .(1)
Esto es un poco confuso para mí.
El lagrangiano del campo EM libre es
LmiMETRO= −14Fμ νFμ ν.(2)
Por lo tanto, el momento canónico es:
πv=∂L∂A˙v= −F0 v= −∂0Av+∂vA0.(3)
Entonces, si escribimos elAm
campo en expansiones en modo Fourier, es:
Am( X ) = ∫d3pag⃗ ( 2 pi)312 |pag⃗ −−−√|∑λ = 03ϵλm{aλpag⃗ mi- yo p x+a† _pag⃗ miYo p x} .(4)
Por la definición del momento canónico, su modo de expansión debe ser
πm( X ) = yo ∫d3pag⃗ ( 2 pi)3|pag⃗ |2−−−√∑λ = 03ϵλm{aλpag⃗ mi- yo p x−a† _pag⃗ miYo p x} − yo ∫d3pag⃗ ( 2 pi)3pagm2 |pag⃗ −−−√|∑λ = 03ϵλ0{aλpag⃗ mi- yo p x−a† _pag⃗ miYo p x} ,(5)
donde sólo el primer término en
πm( X )
se ajusta a la relación de conmutación. ¿La relación de conmutación es incorrecta o mi momento canónico es incorrecto?