Derivación de la densidad lagrangiana del campo electromagnético

Abstracto

A continuación, probaremos que una densidad lagrangiana compatible para el campo electromagnético en el espacio vacío es

$$\begin{equation} \mathcal{L}_{em}\:=\:\epsilon_{0}\cdot\dfrac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \tag{045} \end{equation}$$ es decir, las ecuaciones de Euler-Langrange producidas a partir de este Lagrangiano son las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético.

Esta densidad lagrangiana se obtiene mediante un procedimiento de prueba y error ⁽¹⁾ , no por adivinanzas.

1. Introducción

Las ecuaciones diferenciales de Maxwell del campo electromagnético en el espacio vacío son

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align}$$ dónde $\: \mathbf{E} =$vector de intensidad de campo eléctrico, $\:\mathbf{B}=$vector de densidad de flujo magnético, $\:\rho=$densidad de carga eléctrica, $\:\mathbf{j} =$vector de densidad de corriente eléctrica. Todas las cantidades son funciones de las tres coordenadas espaciales. $\:\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \equiv \left( x,y,z\right)\:$y tiempo $\:t \equiv x_{4}\:$.

De la ecuación (001d) el vector de flujo magnético$\:\mathbf{B}\:$puede expresarse como el rotacional de un potencial vectorial$\:\mathbf{A}\:$

$$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \tag{002} \end{equation}$$ y de (002) la ecuación (001a) da $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\left(\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) =\boldsymbol{0} \tag{003} \end{equation}$$ por lo que el término entre paréntesis se puede expresar como el gradiente de una función escalar $$\begin{equation*} \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} =-\boldsymbol{\nabla}\phi \end{equation*}$$ eso es $$\begin{equation} \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \tag{004} \end{equation}$$ Así que las seis variables escalares, las componentes de los vectores $\:\mathbf{E}\:$y $\:\mathbf{B}\:$, se puede expresar como funciones de 4 variables escalares, el potencial escalar $\:\phi\:$y tres componentes del vector potencial $\:\mathbf{A}$.

Insertar las expresiones de$\:\mathbf{E}\:$y$\:\mathbf{B}\:$, ecuaciones (002) y (004) respectivamente, en las ecuaciones (001b) y (001c) tenemos

$$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) \tag{005} \end{equation}$$
y $$\begin{equation} \boxed{\: -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \:} \tag{006} \end{equation}$$ Dado que $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{007} \end{equation}$$ la ecuación (005) produce $$\begin{equation} \boxed{\: \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) =\mu_{0}\mathbf{j} \:} \tag{008} \end{equation}$$

2. Las ecuaciones de Euler-Lagrange del campo EM

Ahora, nuestra tarea principal es encontrar una densidad lagrangiana$\:\mathcal{L}\:$, función de las cuatro ''coordenadas de campo'' y sus derivadas de primer orden

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\eta_{\jmath}, \overset{\centerdot}{\eta}_{\jmath}, \boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right) \qquad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{009} \end{equation}$$ tal que las cuatro ecuaciones de campo electromagnético escalares (006) y (008) se derivan de las ecuaciones de Lagrange $$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\dfrac{\partial \eta_{\jmath}}{\partial t}\right)}\right]+\sum_{k=1}^{k=3}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\dfrac{\partial \eta_{\jmath}}{\partial x_{k}}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0\:, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{010} \end{equation}$$ simplificado en notación a $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\eta}_{\jmath}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \:} \tag{011} \end{equation}$$

Aquí la densidad lagrangiana$\:\mathcal{L}\:$es una función de

1. las cuatro ''coordenadas de campo''

$$\begin{align} \eta_{1}&=\mathrm{A}_1\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.1}\\ \eta_{2}&=\mathrm{A}_2\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.2}\\ \eta_{3}&=\mathrm{A}_3\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.3}\\ \eta_{4}&=\:\;\phi \left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.4} \end{align}$$

2. sus derivados temporales

$$\begin{align} \overset{\centerdot}{\eta}_{1} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{1}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{1} \tag{013.1}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{2} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{2}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{2}}{\partial t}\equiv \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{2} \tag{013.2}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{3} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{3}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{3}}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{3} \tag{013.3}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{4} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{4}}{\partial t} =\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\phi} \tag{013.4} \end{align}$$

y

3. sus gradientes

$$\begin{equation} \begin{array}{cccc} \boldsymbol{\nabla}\eta_{1}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_1 \:,\: & \boldsymbol{\nabla}\eta_{2}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2} \:,\: \boldsymbol{\nabla}\eta_{3}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_3 \:,\: & \boldsymbol{\nabla}\eta_{4}=\boldsymbol{\nabla}\phi \end{array} \tag{014} \end{equation}$$

Expresamos las ecuaciones (006) y (008) en formas que son similares a las ecuaciones de Lagrange (011)

$$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left(\boldsymbol{\nabla}\phi \right) -\left(-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\right) =0 \:} \tag{015} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left[c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\right] -\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}}=0 \:} \tag{016} \end{equation}$$ La ecuación de Lagrange (011) para $\:\jmath=4\:$, eso es para $\:\eta_{4}=\phi \:$, es $$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot} \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=0 \tag{017} \end{equation}$$

Comparando las ecuaciones (015) y (017), notamos que la primera podría derivarse de la segunda si

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}=\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\:, \qquad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}=\boldsymbol{\nabla}\phi \:, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{018} \end{equation}$$
de modo que la densidad lagrangiana $\:\mathcal{L}\:$debe contener respectivamente los términos $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}\equiv\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}\:, \qquad \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}\:, \qquad \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}\equiv-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{019} \end{equation}$$ y en consecuencia su suma $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} +\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{020} \end{equation}$$

Suponemos que una densidad lagrangiana apropiada$\:\mathcal{L}\:$sería de la forma

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{021} \end{equation}$$ y desde $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}\:$produce la ecuación (015), esperamos que $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$, por determinar, producirá las ecuaciones (016). Esta expectativa sería correcta si las ecuaciones (015) y (016) estuvieran desacopladas, por ejemplo si la primera contiene $\:\phi$-términos solamente y el segundo $\:\mathbf{A}$-términos solamente. Pero aquí este no es el caso: $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}\:$como que contiene $\:\mathbf{A}$-términos participarían en la producción de ecuaciones (016) y además $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$participaría en la producción de la ecuación (015), posiblemente destruyendo mutuamente la producción de las ecuaciones como esperábamos. Pero aquí seguimos un procedimiento de prueba y error, que nos llevará a la respuesta correcta como veremos a continuación.

Ahora, las ecuaciones de Lagrange (011) para$\:\jmath=k=1,2,3\:$, eso es para$\:\eta_{k}=\mathrm{A}_{k} \:$, son

$$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot} \left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathrm{A}_{k}}=0 \tag{022} \end{equation}$$

Comparando las ecuaciones (016) y (022), notamos que la primera podría derivarse de la segunda si

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}}= \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\:, \quad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\:, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathrm{A}}_{k}=\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}} \tag{023} \end{equation}$$

De la primera de las ecuaciones (023) el$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$parte de la densidad de Lagrange$\:\mathcal{L}\:$debe contener los términos

$$\begin{equation} \frac{1}{2}\left\Vert \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}\right\Vert^{2}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}\:, \quad k=1,2,3 \tag{024} \end{equation}$$ y por lo tanto su suma con respecto a $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\equiv \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}} \tag{025} \end{equation}$$

A partir de la 2ª de las ecuaciones (023) el$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$parte de la densidad de Lagrange$\:\mathcal{L}\:$debe contener los términos

$$\begin{equation} \tfrac{1}{2}c^{2}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k} -\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \:, \quad k=1,2,3 \tag{026} \end{equation}$$ y por lo tanto su suma con respecto a $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \tag{027} \end{equation}$$ De la 3ra de las ecuaciones (023) el $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$parte de la densidad de Lagrange $\:\mathcal{L}\:$debe contener los términos $$\begin{equation} \frac{\mathrm{j}_{k}\mathrm{A}_{k}}{\epsilon_{0}} \:, \quad k=1,2,3 \tag{028} \end{equation}$$ y por lo tanto su suma con respecto a $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\equiv \frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{029} \end{equation}$$

De las ecuaciones (025), (027) y (029) la$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$parte de la densidad de Lagrange$\:\mathcal{L}\:$es

$$\begin{align} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} & = \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} +\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} \tag{030}\\ & = \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$

Finalmente, de las expresiones (020) y (030) para las densidades$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}},\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$la densidad de Lagrange$\:\mathcal{L}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$es

$$\begin{align} \mathcal{L}& = \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}} + \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{031}\\ & = \left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & + \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & \text{(this is a wrong Lagrange density)} \nonumber \end{align}$$

3. Error-Prueba-Éxito final

Inserción de esta expresión de densidad de Lagrange en la ecuación de Lagrange con respecto a$\:\phi \:$, que es la ecuación (017), no produce la ecuación (006) pero

$$\begin{equation} -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial }{\partial t}\left(2\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) =\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\:, \quad (\textbf{wrong}) \tag{032} \end{equation}$$ La aparición de un extra $\:\left( \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \:$se debe al término $\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \:$de $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$y por eso la densidad de Lagrange dada por la ecuación (031) no es adecuada.

Para resolver este problema debemos mirar (015), es decir (006), desde un punto de vista diferente como sigue

$$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\left(\boldsymbol{\nabla}\phi + \mathbf{\dot{A}}\right) -\left(-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\right) =0 \tag{033} \end{equation}$$

Comparando las ecuaciones (033) y (017), notamos que la primera podría derivarse de la segunda si en lugar de (018) tenemos

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}=0\:, \qquad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}=\boldsymbol{\nabla}\phi + \mathbf{\dot{A}} \:, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{034} \end{equation}$$
entonces en lugar de (019) y (020) respectivamente las ecuaciones $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}\equiv 0\:, \quad \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2} +\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\:, \quad \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}\equiv-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{035} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha}}=\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}+\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} +\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{036} \end{equation}$$ Ahora, es necesario omitir de $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\:$, ecuación (025), el segundo término $\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \:$ya que aparece en $\:\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} \:$, véase la segunda de las ecuaciones anteriores (035).

Entonces tenemos en lugar de (025)

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\equiv \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2} \tag{037} \end{equation}$$ mientras $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}},\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\:$permanecen sin cambios como en las ecuaciones (027) y (029) $$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} &=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \tag{038} \\ \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} &=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\equiv \frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{039} \end{align}$$

En lugar de (030)

$$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta}} & = \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}+\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} +\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} \tag{040} \\ & = \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$ y finalmente para la nueva densidad lagrangiana tenemos en lugar de (031)

$$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}& = \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha}} + \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{041} \\ & = \tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2} +\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}} -\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & + \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k} -\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$

Densidad$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$de (041) se obtiene a partir de la densidad$\:\mathcal{L}\:$de (031) si omitimos el término$\:\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}\:$. Entonces$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$es independiente de $\:\overset{\centerdot}{\phi}$.

En las siguientes ecuaciones, la llave sobre los 3 términos de la izquierda agrupa esa parte de la densidad$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$que esencialmente participa en la producción de la ecuación electromagnética (006) a partir de la ecuación de Lagrange con respecto a$\:\phi \:$, ecuación (017), mientras que la llave debajo de los 4 términos de la derecha agrupa esa parte de la densidad$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$que esencialmente participa en la producción de las ecuaciones electromagnéticas (008) a partir de las ecuaciones de Lagrange con respecto a$\:\mathrm{A}_{1},\mathrm{A}_{2},\mathrm{A}_{3} \:$, ecuación (022).

$$\begin{equation*} \mathcal{L}^{\prime}=\overbrace{\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}^{\text{with respect to }\phi}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \mathcal{L}^{\prime}=\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}}_{\text{with respect to }\mathbf{A}} \end{equation*}$$

Tenga en cuenta el término común$\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right)$.

Reordenando los términos en la expresión (041) de la densidad$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$tenemos

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}_{\tfrac{1}{2}\left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2}}-\tfrac{1}{2}c^{2}\underbrace{\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right]}_{\left\Vert \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \end{equation}$$ $$\begin{equation} ----------------- \tag{042} \end{equation}$$

eso es

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\tfrac{1}{2}\left|\!\left|- \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right|\!\right|^{2}-\tfrac{1}{2}c^{2}\left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \tag{043} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\frac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) \tag{044} \end{equation}$$

Ahora bien, si la densidad$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$debe tener dimensiones de energía por unidad de volumen que definimos$\:\mathcal{L}_{em}=\epsilon_{0}\mathcal{L}^{\prime} \:$entonces

$$\begin{equation} \boxed{\: \mathcal{L}_{em}\:=\:\epsilon_{0}\cdot\dfrac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \:} \tag{045} \end{equation}$$ teniendo en cuenta que $$\begin{align} \left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2} & = \left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2} = \left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+2\left(\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \tag{046a}\\ & \nonumber\\ \left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2} & = \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}=\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{046b} \end{align}$$

el escalar$\:\left(\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}\right)\:$es una de las dos invariantes de Lorentz ⁽²⁾ del campo (la otra es$\:\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}$) esencialmente igual a una constante veces$\:\mathcal{E}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$, dónde$\:\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$el tensor de campo antisimétrico ⁽²⁾ .

Por otro lado, el escalar$\: \left(-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\:$es esencialmente el producto interno$\:J_{\mu}A^{\mu}\:$en el espacio de Minkowski de dos 4 vectores: la densidad de 4 corrientes$\:J^{\mu}=\left(c\rho,\mathbf{j}\right)\:$y el 4-potencial$\:A^{\mu}=\left(\phi/c,\mathbf{A}\right)\:$, un escalar invariante de Lorentz también.

Entonces, la densidad de Lagrange$\:\mathcal{L}_{em}\:$en la ecuación (045) es invariante de Lorentz.

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^{(1) Mediante un procedimiento de prueba y error, encontré el Lagrangiano en un caso más difícil y complicado: vea mi respuesta como usuario82794 aquí Obtenga el Lagrangiano del sistema de ecuación acoplada}

^{(2) Siguiendo a W.Rindler en "Introducción a la Relatividad Especial" Ed.1982, este tensor se deriva en la ecuación (38.15)}

$$\begin{equation} \mathcal{E}_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & E_{1} & E_{2} & E_{3} \\ -E_{1} & 0 & -cB_{3} & cB_{2} \\ -E_{2} & cB_{3} & 0 & -cB_{1} \\ -E_{3} & -cB_{2} & cB_{1} & 0 \end{bmatrix} \quad \text{so} \quad \mathcal{E}^{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & -E_{1} & - E_{2} & -E_{3} \\ E_{1} & 0 & -cB_{3} & cB_{2} \\ E_{2} & cB_{3} & 0 & -cB_{1} \\ E_{3} & -cB_{2} & cB_{1} & 0 \end{bmatrix} \tag{38.15} \end{equation}$$ que al hacer los reemplazos (dualidad) $\:\mathbf{E}\to -c\mathbf{B}\:$y $\:c\mathbf{B}\to \mathbf{E}\:$rendimientos $$\begin{equation} \mathcal{B}_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & -cB_{1} & -cB_{2} & - cB_{3} \\ cB_{1} & 0 & -E_{3} & E_{2} \\ cB_{2} & cE_{3} & 0 & -E_{1} \\ cB_{3} & -E_{2} & E_{1} & 0 \end{bmatrix} \quad \text{so} \quad \mathcal{B}^{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & cB_{1} & cB_{2} & cB_{3} \\ -cB_{1} & 0 & -E_{3} & E_{2} \\ -cB_{2} & cE_{3} & 0 & -E_{1} \\ -cB_{3} & -E_{2} & E_{1} & 0 \end{bmatrix} \tag{39.05} \end{equation}$$ Las dos invariantes de$\:\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$-inmediatamente reconocibles como tales por su modo de formación- se puede expresar de la siguiente manera: $$\begin{align} X & =\dfrac{1}{2}\mathcal{E}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}=-\dfrac{1}{2}\mathcal{B}_{\mu\nu}\mathcal{B}^{\mu\nu}=c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}-\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2} \tag{39.06}\\ Y & =\dfrac{1}{4}\mathcal{B}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}=c\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E} \tag{39.07} \end{align}$$

En última instancia, el razonamiento debe ser que (como usted indicó) debe construirse de modo que las ecuaciones de Euler-Lagrange sean las ecuaciones de Maxwell. Entonces, en cierto sentido, debe adivinar el Lagrangiano que produce esto, como se hace aquí, por ejemplo.

Sin embargo, puede obtener alguna orientación del hecho de que necesitamos construir un Lagrangiano para un campo sin autointeracción sin masa. Así que necesitamos una combinación invariante de calibre y lorentz del potencial de 4 vectores que solo tiene un término cinético (cuadrático en derivadas de los campos). Entonces no te quedan muchas opciones aparte de$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$. El término fuente es entonces trivial de agregar si es necesario.

Puede encontrar la respuesta en el libro "Differential Geometry and Lie Groups for Physicists" de Marian Fecko.

En lenguaje geométrico, una acción de un campo$F\in\Omega^{p}(M)$en alguna variedad riemanniana n-dim$(M,g)$debe entenderse como un 'producto interno'

$$\int_{M}F\wedge\ast_{g}F,$$ dónde $p<n$, y $\ast_{g}$es el operador estrella de hodge, es decir $$\ast_{g}:\Omega^{p}(M)\rightarrow\Omega^{n-p}(M)$$ por lo que la acción es difeomorfismo invariante y su densidad es un escalar.

Por ejemplo, la acción de un campo escalar libre toma esta forma:

$$S[\phi]=\int_{M}d\phi\wedge\ast_{g}d\phi+\frac{m}{2}\int_{M}\phi\wedge\ast_{g}\phi=\int_{M}\sqrt{|g|}d^{n}x\left\{\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi+\frac{m\phi^{2}}{2}\right\}.$$ Cuando la variedad 'worldsheet' es 1-dim, solo los campos posibles son 1-formas. Se puede considerar que una acción toma la siguiente forma $$\int_{\mathbb{R}}A_{\mu}\frac{dx^{\mu}}{ds}ds$$ dónde $A=A_{s}ds=A_{\mu}\frac{dx^{\mu}}{ds}ds$es una forma 1 en la línea del mundo, cuyo campo dual hodge star no está definido.

Puede usar las simetrías de E&M para mostrar que esencialmente solo hay un candidato razonable que debe verificarse:

La acción que buscamos debe ser invariante de Lorentz, invariante de calibre, invariante de paridad e inversión de tiempo, y no más de segundo orden en derivadas. El único candidato es [la acción de Maxwell]. [Srednicki QFT pág. 334.]