Obtener el Lagrangiano del sistema de ecuaciones acopladas [cerrado]

SECCIÓN PRINCIPAL: El Lagrangiano

Expresemos las ecuaciones de movimiento y las ecuaciones de Euler-Lagrange con lados derechos cero

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{\ddot{Q}_{k}+\omega^{2}_{k}Q_{k}-2\dfrac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j}g_{kj}Q_{j}-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=0} \tag{01a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=0} \tag{01b} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{k}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial Q_{k}}=0} \tag{02a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0} \tag{02b} \end{equation}$$

dónde$\:L\left(q,\dot{q},Q_{k},\dot{Q}_{k}\right)\:$el lagrangiano.

Procedemos a las siguientes definiciones para manejar la gran cantidad de variables e índices por medio de expresiones simplificadas comprimidas:

$$\begin{equation} \mathbf{Q}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} Q_{1}\\ Q_{2}\\ \vdots\\ Q_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\dot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \dot{Q}_{1}\\ \dot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \dot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\ddot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \ddot{Q}_{1}\\ \ddot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \ddot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{G} \stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} 0& g_{12} & g_{13} & \cdots & g_{1k} & \cdots \\ g_{21} & 0 & g_{23} & \cdots & g_{2k} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ g_{k1} & g_{k2} & g_{k3} & \cdots & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =-\mathrm{G}^{\rm{T}} \tag{04} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Omega\left(q\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \omega_{1} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \omega_{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \omega_{k}& \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = \dfrac{\pi}{q} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & k & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =\Omega^{\rm{T}}\left(q\right) \tag{05} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \phi\left(q,\dot{q}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}\dfrac{\dot{q}}{q} \tag{06} \end{equation}$$

Definimos también el escalar real a continuación, algo así como el producto interno de vectores reales

$$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \sum_{k}Q_{k}P_{k} \tag{07} \end{equation}$$

Bajo estas definiciones y usando las ecuaciones (A-01), ver SECCIÓN AUXILIAR, tenemos las siguientes expresiones (08) en lugar de las ecuaciones de movimiento (01) y (09) en lugar de (02):

$$\begin{equation} \mathbf{\ddot{Q}}+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}=\mathbf{0} \tag{08a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=0 \tag{08b} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}=\mathbf{0} \tag{09a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0 \tag{09b} \end{equation}$$ mientras que el Lagrangiano del sistema, ver ecuación (3.1) en la pregunta, utilizando las ecuaciones (A-02) se expresa como $$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{10} \end{equation}$$ y en una forma aún más compacta $$\begin{equation} L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)= \dfrac{1}{2}\left(\left\Vert \phi\mathrm{G}\mathbf{Q}-\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2}-\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \right)+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V \tag{10$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ Intentaremos construir el Lagrangiano paso a paso mediante un procedimiento de prueba y error.

Entonces, esperamos que el primer término de la ecuación (08a) provenga de una parte lagrangiana$\:L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$tal que por (09a)

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)= \mathbf{\ddot{Q}}\Longrightarrow \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}} \tag{11} \end{equation}$$ De la regla (A-3.d), ver SECCIÓN AUXILIAR, $\:L_{1}\:$es $$\begin{equation} L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{12} \end{equation}$$ desde $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{\dot{Q}}}=2\mathbf{\dot{Q}} \tag{13} \end{equation}$$

Para el segundo término de la ecuación (08a) esperamos una parte lagrangiana$\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$tal que por (09a)

$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial \mathbf{Q}}= \Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q} \tag{14} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)=-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{15} \end{equation}$$ ya que de la regla (A-3.c) y la matriz simétrica (más exactamente: diagonal) $\:\Omega^{2}=\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=\left[\Omega^{2}+\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\right]\mathbf{Q}=2\Omega^{2}\mathbf{Q} \tag{16} \end{equation}$$ Pero como la parte lagrangiana $\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$es una función de $\:q\:$además, produce elementos en las ecuaciones de movimiento si se inserta en el segundo término de (09b): $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial q}=+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=+\boldsymbol{<}\Omega \dfrac{\partial \Omega}{\partial q} \mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{17} \end{equation}$$ ese es exactamente el tercer término en la ecuación (08b).

Por otro lado los dos primeros términos de (08b) son los de una partícula moviéndose en un potencial, por lo que provienen de una parte lagrangiana$\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$:

$$\begin{equation} L_{3}\left(q,\dot{q}\right)=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q) \tag{18} \end{equation}$$ Esta parte $\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$si se inserta en (9a) no produce nada (ningún término en las ecuaciones de movimiento). Ahora, en (08a) la mitad del 3er término y el 4to término dan $$\begin{equation} -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}=\dfrac{d}{dt}\left(-\phi\mathrm{G}\mathbf{Q}\right) \tag{19} \end{equation}$$ entonces esperamos una parte lagrangiana $\:L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$tal que por (09a) $$\begin{equation} \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{20} \end{equation}$$ eso es $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{21} \end{equation}$$ Pero, debido a la antisimetría de $\:\mathrm{G}\;$, esta parte también puede expresarse como $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=+\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G} \mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{22} \end{equation}$$ entonces insertando esto en el segundo término de (09a) $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}} \tag{23} \end{equation}$$ que es la otra mitad del 3er término en (08a). Esto significa que $\:L_{4}\:$, si se inserta en (09a), produce los términos 3 y 4 de (08a) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}=-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{24} \end{equation}$$ La salida de la inserción de $\:L_{4}\:$en (09b) se examinaría más adelante junto con $\:L_{5}\:$. El quinto término de (08a) puede provenir de una parte lagrangiana $\:L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$tal que por (09a)
$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{5}}{\partial \mathbf{Q}}=\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{25} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{26} \end{equation}$$ ya que de (A-03.c) y la simetría de $\:\mathrm{G}^{2}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{Q}}=\left(\mathrm{G}^{2}+\left(\mathrm{G}^{2}\right)^{\rm{T}}\right)\mathbf{Q}=2\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{27} \end{equation}$$ Se puede probar, ver UNA SECCIÓN DE PRUEBA, que la suma $\:L_{45}=L_{4}+L_{5}\:$ $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=L_{4}+L_{5}=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$ si se inserta en (09b) produce el cuarto término de (08b) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$

En la ecuación (30) a continuación, sumamos las partes lagrangianas encontradas y el lagrangiano final es

$$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\underbrace{\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{1}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)}_{L_{3}}\underbrace{-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{4}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{5}} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{30} \end{equation}$$ idéntico al dado en el documento, ecuación (10).

Las ecuaciones (31) son las ecuaciones de movimiento (08) con llaves debajo de los elementos indicados a partir de los cuales los términos lagrangianos$\:L_{m}\:$estos elementos provienen de:

$$\begin{equation} \underbrace{\mathbf{\ddot{Q}}}_{L_{1}}\underbrace{+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}}_{L_{2}}\underbrace{-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{L_{4}}\underbrace{+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}}_{L_{5}}=\mathbf{0} \tag{31a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \underbrace{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}}_{L_{3}}\underbrace{-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{4}+L_{5}}=0 \tag{31b} \end{equation}$$
Tenga en cuenta que los momentos canónicos $\:\mathbf{P},p\:$conjugar a $\:\mathbf{Q},q\:$respectivamente son
$$\begin{align} \mathbf{P}&=\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{32a}\\ p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b} \end{align}$$ donde para la prueba de (32b) $$\begin{align} p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \underbrace{\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{\mathbf{P}}\boldsymbol{>}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ Las ecuaciones (32a) y (32b) son idénticas a (3.3) y (3.4) del documento respectivamente, que se dan a continuación $$\begin{align} P_{k}&=\dot{Q}_{k}-\frac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}Q_{j} \tag{3.3}\\ p&=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\sum_{jk}g_{kj}P_{k}Q_{j} \tag{3.4} \end{align}$$

---

SECCIÓN AUXILIAR: Expresiones simplificadas comprimidas y reglas de diferenciación parcial

Las ecuaciones (A-01) son útiles para la conversión de las ecuaciones de movimiento de la forma (01) a la forma (08):

$$\begin{align} &\omega^{2}_{k}Q_{k}=\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.a}\\ &\sum_{j}g_{kj}Q_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.b}\\ &\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k} \tag{A-01.c}\\ &\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left(\sum_{j}g_{kj}g_{j\ell}\right)Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left( \mathrm{G}^{2}\right)_{k\ell}Q_{\ell}=-\left(\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q}\right)_{k} \tag{A-01.d}\\ &\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)=\dfrac{d\phi\left(q,\dot{q}\right)}{dt}=\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right) \tag{A-01.e}\\ &\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f} \end{align}$$ La demostración de (A-01.f) es la siguiente $$\begin{equation} \sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\underbrace{\sum_{k}\omega^{2}_{k}Q^{2}_{k}}_{\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}+\underbrace{\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}}_{-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ desde $$\begin{align} &\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}kjQ_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}\underbrace{(-1)^{k+j}\dfrac{2kj}{j^{2}-k^{2}}}_{g_{kj}}\dfrac{j^{2}-k^{2}}{2}Q_{k}Q_{j}=\dfrac{1}{2}\sum_{k,j}g_{kj}\left(\omega^{2}_{j}-\omega^{2}_{k}\right)Q_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &-\dfrac{1}{2}\sum_{j}\underbrace{\left(\omega^{2}_{j}Q_{j}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{j}}\overbrace{\sum_{k}g_{jk}Q_{k}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{j}}-\dfrac{1}{2}\sum_{k}\underbrace{\left(\omega^{2}_{k}Q_{k}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k}}\overbrace{\sum_{j}g_{kj}Q_{j}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}}=-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f\;$^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \nonumber \end{align}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \end{equation}$$

Las ecuaciones (A-02) y (A-03) son útiles para la conversión del Lagrangiano de la forma (3.1), ver ecuación en cuestión, a la forma (10) y para la construcción de este Lagrangiano paso a paso a partir de la ecuaciones de movimiento (08) :

$$\begin{align} &\sum_{k}\dot{Q}_{k}^{2}=\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2} \tag{A-02.a}\\ &\sum_{k}\omega_{k}^{2}(q)Q_{k}^{2}=\boldsymbol{<} \Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega^{\rm{T}} \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.b}\\ &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c}\\ &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathrm{G}\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.d} \end{align}$$ Las ecuaciones (A-02.c) y (A-02.d) se demuestran respectivamente como sigue $$\begin{align} &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\dot{Q}_{k}=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k}= \nonumber\\ &\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, \mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, -\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ $$\begin{align} &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\left(\sum_{\ell}g_{k \ell}Q_{\ell}\right)=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \nonumber\\ &=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.d$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$

Las ecuaciones (A-03) a continuación son, en cierto sentido, reglas de diferenciación parcial de una función escalar de una variable vectorial$\:\mathbf{S}\:$con respecto a esta variable. Las funciones escalares suelen ser productos internos y el vector variable es$\:\mathbf{S}=\mathbf{Q}\;\text{or}\;\mathbf{\dot{Q}}\:$. En el siguiente$\:\mathbf{A},\mathbf{R}\:$son vectores y$\:\mathrm{F}\:$transformación lineal todas ellas independientes del vector variable$\:\mathbf{S}\:$. Generalmente$\:\mathrm{F}=\Omega,\Omega^{2},\mathrm{G},\mathrm{G}^{2}\:$:

$$\begin{align} &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{A},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{A}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathbf{A} \tag{A-03.a}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{R},\mathrm{F}\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R} \tag{A-03.b}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\left(\mathrm{F}+\mathrm{F}^{\rm{T}}\right)\mathbf{S} \tag{A-03.c}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=2 \mathbf{S} \tag{A-03.d} \end{align}$$ (A-03.b) es un caso especial de (A-03.a) con $\:\mathbf{A}=\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R}\:$y (A-03.d) es un caso especial de (A-03.c) con $\:\mathrm{F}=\mathrm{I}\:$.

Una identidad útil en la siguiente sección es

$$\begin{equation} \mathrm{G}^{\rm{T}}=-\mathrm{G} \:\Longrightarrow \: \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=0, \quad \text{for any real vector }\: \mathbf{S} \tag{A-04} \end{equation}$$ desde $$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\left(-\mathrm{G}\right)\mathbf{S}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>} \tag{A-04$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

---

UNA SECCIÓN DE PRUEBA: Prueba de la ecuación (29) dada la ecuación (28).

Probaremos la ecuación (29) a partir de (28), las dos ecuaciones repetidas aquí por conveniencia

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$

$$\begin{align} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}&=\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=\left(-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-01} \end{equation}$$ Ahora $$\begin{align} \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=-\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\;\Longrightarrow \nonumber\\ \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-02} \end{align}$$ Diferenciando (B-02) con respecto a $\:t\:$ $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)=\left(-\dfrac{\ddot{q}q-2\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-03} \end{align}$$ Sumando (B-01) y (B-03) $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}= \nonumber\\ &\left(-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{2\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>}= \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\left(\dfrac{\ddot{q}-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\right) \mathrm{G}\mathbf{Q}+\dfrac{2\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\underbrace{\dot{\phi}\mathrm{G}\mathbf{Q}+2\phi\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}}}_{=\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\text{ see (08a)}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\phi^{2}}{q}\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber \end{align}$$ entonces $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{B-04} \end{equation}$$ QED.