Supongo que de acuerdo con la didáctica matemática, primero pensamos en el espacio-tiempo como un conjunto y razonamos sobre los elementos de su topología y luego, además, está equipado con una métrica. Aparentemente, es esta métrica de Riemann, que la gente considera que es el objeto, la que indujo los requisitos mínimos de simetría del espacio-tiempo.
1) Con respecto a la relación entre la geometría riemanniana y el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica: ¿un ajuste para la geometría riemanniana siempre implica que es posible cocinar una estructura simpléctica en el paquete cotangente?
2) ¿Hay algunas estructuras más naturales que los físicos podrían verse tentados a colocar en el espacio-tiempo, que también podrían restringir las estructuras de simetría (del espacio-tiempo)? ¿Es esto construir simetrías de grupos cuánticos (de álgebras de coordenadas no conmutativas, alla Connes?)?
3) Me dan una solución a una ecuación diferencial que se puede pensar en un resultado de un Lagrangiano con un conjunto de simetrías (por ejemplo para algunos modelos de espacio-tiempo). ¿Esta solución también puede ser el resultado de un Lagrangiano con menos simetrías? Aquí, básicamente estoy preguntando hasta qué punto puedo reconstruir las simetrías a partir de una solución o conjuntos específicos de la solución. Es una especie de problema inverso de la pregunta "¿hay simetrías ocultas/rotas?".
La siguiente descripción será desde el punto de vista de la partícula, es decir, la variedad de espacio-tiempo se referirá a la variedad de configuración en la que se mueve una partícula.
Observación: mi respuesta incorrecta de la primera pregunta se corrigió siguiendo el comentario de Qmechanic.
1) No hay necesidad de una métrica para definir una estructura simpléctica en un paquete cotangente. Un paquete cotangente tiene una estructura simpléctica canónica independiente de cualquier métrica:
Sin embargo, dada una métrica en la variedad de configuración, un paquete cotangente de una amplia clase de variedades (por ejemplo, variedades compactas) puede recibir una estructura de Kähler. No se conoce ninguna expresión explícita en el caso general. Sin embargo, hay expresiones implícitas para casos especiales como los grupos de Lie, por favor vea el ejemplo de en las conferencias de Hall . La ventaja de tener una estructura de Kähler en un paquete cotangente es que permite la cuantificación en términos de operadores de creación y aniquilación como en el caso de un espacio plano.
2) Una estructura natural que se puede poner en una variedad de espacio-tiempo es un paquete principal. En este caso, dada una métrica en la variedad base y una conexión en el paquete principal, se puede definir una estructura de Poisson en este paquete principal. En este caso, incluso en el caso de un hamiltoniano que se desvanece, habrá una dinámica no trivial determinada por las restricciones. Las ecuaciones clásicas de movimiento son las ecuaciones de Wong de una partícula coloreada en un campo de Yang-Mills. Consulte el siguiente trabajo de: A. Duviryac para una exposición clara.
Con respecto a la segunda parte de la pregunta, la cuantización de este sistema conduce a una representación cuántica del grupo de colores. El álgebra de operadores de esta representación tiene la estructura de una variedad no conmutativa. El ejemplo más conocido de este tipo de álgebra es en el caso de , donde esta variedad es una esfera difusa .
3) Considere una partícula que se mueve uniformemente en un gran círculo de una esfera bidimensional. Esta es una solución de una partícula libre en un círculo cuya simetría es , y también una solución de una partícula libre en una esfera cuya simetría es .
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