Prueba de una propiedad del soporte de Poisson

(Buen resultado. No lo sabía.)

La afirmación correcta es la siguiente.

proposición _ Suponer que$f=f(q,p)$y$g=g(q,p)$son un par de funciones suaves definidas en un conjunto abierto$\Omega \subset \mathbb R^2$tal que$\{f,g\}=0$al respecto Luego, en un barrio de cualquier$(p_0,q_0)\in \Omega$podemos escribir cualquiera$f(p,q) = F(g(p,q))$o$g(p,q) = G(f(p,q))$para alguna función suave$F=F(x)$o$G=G(x)$dependiendo de dicho barrio.

prueba _ La tesis es verdadera si$f$o$g$es constante alrededor$(p_0,q_0)$desde$F$o$G$puede elegirse constante en ese caso. Supongamos que al menos una de las funciones no es constante, digamos$g$. Si$g$no es constante, al menos una derivada de$\partial_p g|_{(q_0,p_0)}$y$\partial_q g|_{(q_0,p_0)}$no se desvanece y por lo tanto no se desvanece en un barrio de$(q_0,p_0)$por continuidad. Suponer$\partial_q g|_{(q_0,p_0)}\neq 0$(los casos restantes son similares). El teorema de Dini asegura que es posible escribir$q= q(g,p)$en una vecindad de dicho punto donde$q= q(g,p)$es suave y$g$y$p$son variables independientes. Por lo tanto$\{f,g\}=0$se puede reformular como

$$\frac{\partial f}{\partial p} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\frac{\partial g}{\partial p} }{\frac{\partial g}{\partial q}} = -\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p}\tag{1}\:$$ (Solía $g= g(q(g,p),p)$, entonces tomando el total $p$derivada de ambos lados ya que $p$y $g$son variables independientes: $0 = \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p}+ \frac{\partial g}{\partial p}$y por lo tanto $-\frac{\partial g}{\partial p}/ \frac{\partial g}{\partial q} = \frac{\partial q}{\partial p}$). A continuación, considere el mapa compuesto $$f^*(g,p) := f(q(g,p),p)\tag{2}$$ Calculemos el $p$-derivada teniendo en cuenta (1): $$\frac{\partial f^*}{\partial p}= \frac{\partial f}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} = -\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} =0\:.$$ Entonces $f^*$en (2) no depende de $p$, Como consecuencia $$f(q,p) = f^*(g(q,p))\:,$$ como quisiera si definiendo $F:= f^*$. QED