Hamiltoniano a partir de una ecuación diferencial

En mi curso de ecuaciones diferenciales se da un ejemplo del sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra:

X ′ = X − X y

(1) y ′ = − γ y + X y .

Luego se transforma por la sustitución: q = en ⁡ X , pag = en ⁡ y .

q ′ = 1 − mi pag

(2) pag ′ = − γ + mi q .

Luego, sin ninguna explicación, dicen que el hamiltoniano es entonces igual a:

(3) H ( pag , q ) = γ q − mi q + pag − mi pag

¿Cómo se deriva este hamiltoniano?

¿Es posible que estén eligiendo un hamiltoniano arbitrariamente por el bien de la demostración? ¿O ha usado previamente un hamiltoniano para el que han cambiado las coordenadas?
Sí, eso podría muy bien ser posible. Me preguntaba si del segundo conjunto de ecuaciones diferenciales se podría derivar el hamiltoniano.
Arreglé el segundo malformado de (2). Dividiendo el primero por el segundo de (2), ves que es simplemente un diferencial exacto, d pag ( 1 − mi pag ) + d q ( γ − mi q ) , integrando trivialmente a una constante: el invariante LV. Así que, o una función de él, es un buen candidato hamiltoniano. Pero funciona tan bien en sí mismo, ¡así que guárdalo!

Respuestas (1)

Esto se explica en la parte II de mi respuesta Phys.SE aquí , que muestra que un sistema 2D siempre tiene una descripción hamiltoniana localmente.

Resulta que antes de la transformación no canónica ( X , y ) → ( q , pag ) , del primer par de eoms (1) solo, el paréntesis de Poisson hamiltoniano y no canónico se puede derivar como

H   =   γ en ⁡ X − X + en ⁡ y − y
y
{ X , y } PAG B   =   X y ,
respectivamente. A continuación las coordenadas canónicas ( q , pag ) se puede determinar fácilmente.

Hamiltoniano a partir de una ecuación diferencial
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v