Transformación canónica de la ecuación de Hamilton

Tengo un problema para entender los criterios de una transformación canónica. Me estoy preparando para mi examen y encontré esta pregunta:

Para cual$A$,$B$,$C$,$D$es:$Q = A q^2+B p^2, \quad P = Cq^2+Dp^2$una transformación canónica de$(q,p) \to (Q,P)$?

Sé que debe contener:$\{Q,P\} = 1$

Mis resultados de cálculo en$AD-BC = \frac{1}{4}pq$. Pero ahora me pregunto si esto es suficiente. Intuitivamente, creo que debería sostener además que el mapeo$(q,p) \to (Q,P)$es invertible lo cual no es el caso, debido a las cuatro Soluciones$q = \pm 2\sqrt{DQ-BP}$y$p = \pm 2\sqrt{PA-QC}$.

Actualmente estoy mirando a través de mis notas de clase y los libros. Todavía no puedo encontrar nada sobre si la transformación debe ser biyectiva para ser una transformación canónica.

Mi pregunta: ¿Qué supuesto(s) debe(n)$(q,p) \to (Q,P)$cumplir para ser una transformación canónica.

EDITAR: Solo estaba mirando mi cálculo. Cometí un error estúpido. El cálculo no da como resultado:$AD-BC = \frac{1}{4}$debería ser

$$AD-BC = \frac{1}{4}pq$$ y por lo tanto esta transformación no puede ser canónica. Lo corregí arriba. Sin embargo, este error me hizo dudar sobre los supuestos para $(q,p) \to (Q,P)$para ser canónica. Finalmente obtuve mi respuesta en el Libro "Theoretische Physik" escrito por W. Nolting. Básicamente es lo mismo que en la respuesta aceptada, Nolting proporciona además una prueba clara de los criterios para las transformaciones canónicas. Entonces, quien tenga la misma pregunta que yo, podría encontrar una respuesta allí.