Soportes de Poisson y componentes de momento angular

Question

Soportes de Poisson y componentes de momento angular

Física
espacio de fase
momento angular
corchetes de poisson
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

jane kamden

Relacionado: paréntesis de Poisson de momento angular

Cuando los corchetes de Poisson se enseñan como parte de un curso de Mecánica analítica, comúnmente se muestran ejemplos que anticipan resultados analógicos en QM. Uno de esos ejemplos, que muestra el libro que estoy usando ([1]), es que dado que los componentes del vector de momento angular $L$ obedecer la relación

\begin{matrix} (1) & [L_{i}, L_{j}] = ϵ_{i j k} L_{k}, \end{matrix}

$\displaystyle [L_i,L_j] = \epsilon_{ijk}L_k \tag{1},$

obviamente no obedecen las relaciones de variables canónicas $[p_i,p_j] = 0$ y por lo tanto no hay dos componentes de $L$ pueden servir como variables canónicas al mismo tiempo. Luego pasa a demostrar que $L^2$ viaja con $L_i$ , por lo que este par se puede utilizar como variables canónicas. Un resultado análogo es la tarifa QM estándar sobre las relaciones de conmutación y la observación.

Parece que he encontrado un contraejemplo. Si escribimos El hamiltoniano para una partícula libre, partiendo del Lagrangiano en coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ , terminamos con

H = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{{pag}_{θ}^{2}}{2 metro r^{2}} + \frac{{pag}_{ϕ}^{2}}{2 metro r^{2} {pecado}^{2} (θ)}

$\displaystyle H=\frac{{p_r}^2}{2 m}+\frac{{p_\theta}^2}{2 m r^2}+\frac{{p_\phi}^2}{2 m r^2 \sin ^2(\theta )}$

con momentos generalizados

{pag}_{r} = metro \dot{r}, {pag}_{θ} = metro r^{2} \dot{θ}, {pag}_{ϕ} = metro (r pecado (θ))^{2} \dot{ϕ}

$\displaystyle p_r= m\dot{r},\quad p_\theta=m r^2 \dot{\theta},\quad p_\phi=m (r \sin (\theta))^2 \dot{\phi}$

Es fácil ver a partir de la definición que

{pag}_{ϕ} = L_{z} y {pag}_{θ} = L_{X} .

$p_\phi=L_z\quad\text{and} \quad p_\theta= L_x.$ Esto parece un contraejemplo. No llegué a este hamiltoniano a través de una transformación canónica, pero es un hamiltoniano "legal" y dos de las variables/momentos canónicos son dos componentes de

L

$L$ , contradiciendo la afirmación anterior.

Como dilema adicional, el libro muestra que los corchetes de Poisson son invariantes canónicas, es decir, conservados bajo transformaciones canónicas, pero cuando calculé $[L_x,L_z]$ en coordenadas cartesianas, obtuve el resultado $[L_x,L_z]-L_y$ como (1) sugiere, y cuando calculé $[L_x,L_z]$ en el espacio de fase de coordenadas esféricas obtuve el resultado $[p_\theta,p_\phi]=0$ como esperaría de un par de variables canónicas ...

Estos resultados parecen contradecirse entre sí. ¿Cuál es la explicación?

[1] Hamill, Patrick. "Guía del estudiante de lagrangianos y hamiltonianos", p.130.

qmecanico

Pista: La identificación correcta es

p_{ϕ} = L_{z}

$p_{\phi}=L_z$ y

p_{θ}^{2} = {\vec{L}}^{2} - \frac{L_{z}^{2}}{\sin^{2} θ}

$p_{\theta}^2=\vec{L}^2-\frac{L_z^2}{\sin^2\theta}$ .

Respuestas (1)

Soportes de Poisson y componentes de momento angular

Pista: La identificación correcta es $p_{\phi}=L_z$ y $p_{\theta}^2=\vec{L}^2-\frac{L_z^2}{\sin^2\theta}$ .

jane kamden · Answer 1

Gracias @Qmechanics, la pista fue todo lo que necesitó.

El error en OP proviene de calcular mal el vector de momento angular.

Cuando el movimiento está restringido a un plano perpendicular a uno de los ejes de coordenadas cartesianas (digamos $z$ ), el vector de momento angular tiene una componente distinta de cero solo en la dirección perpendicular al plano ( $z$ ). Su magnitud es $L_z = m r^2 \dot{\theta}$ .

Sin embargo, cuando nos movemos al espacio 3d, es incorrecto calcular cada componente de $L$ individualmente, como si el movimiento estuviera restringido a un plano "a la vez". En su lugar, tienes que hacer el cálculo general:

\begin{aligned} \vec{r} & = (r pecado (θ) porque (φ), r pecado (θ) pecado (φ), r porque (θ)) \\ \dot{\vec{r}} & = (- r \dot{φ} pecado (θ) pecado (φ) + \dot{θ} r porque (θ) porque (φ) + \dot{r} pecado (θ) porque (φ), \\ \dot{r} pecado (θ) pecado (φ) + r \dot{φ} pecado (θ) porque (φ) + \dot{θ} r porque (θ) pecado (φ), \\ \dot{r} porque (θ) - \dot{θ} r pecado (θ)) \\ \vec{L} & = r \times (metro \dot{\vec{r}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{r} &=(r \sin (\theta ) \cos (\varphi ),r \sin (\theta ) \sin (\varphi ),r \cos (\theta ) )\\ \dot{\vec{r}} &= ( -r \dot{\varphi } \sin (\theta ) \sin (\varphi )+\dot{\theta } r \cos (\theta ) \cos (\varphi )+\dot{r} \sin (\theta ) \cos (\varphi ), \\\quad&\dot{r} \sin (\theta ) \sin (\varphi )+r \dot{\varphi } \sin (\theta ) \cos (\varphi )+\dot{\theta } r \cos (\theta ) \sin (\varphi ), \\\quad &\dot{r} \cos (\theta )-\dot{\theta } r \sin (\theta ))\\ \vec{ L} &= r \times (m \dot{\vec{r}}) \end{align*}$ El resultado es un poco peludo, pero se nota que

L_{x} \neq m r^{2} \dot{θ}

$L_x \ne m r^2 \dot{\theta}$ y por lo tanto OP declaración de que

L_{x} = p_{θ}

$L_x = p_\theta$ Es falso.

Afortunadamente, $L^2$ (un escalar) tiene una forma amigable:

L^{2} = {metro}^{2} r^{4} ({\dot{φ}}^{2} {pecado}^{2} (θ) + {\dot{θ}}^{2})

$\displaystyle L^2 =m^2 r^4 \left(\overset{.}{\varphi }^2 \sin ^2(\theta )+\overset{.}{\theta }^2\right)$ Entonces, la identidad señalada por @Qmechanic es fácil de probar:

({pag}_{θ})^{2} = L^{2} - \frac{L_{z}^{2}}{{pecado}^{2} (θ)}

$(p_\theta)^2 = L^2 - \frac{L_z^2}{\sin^2(\theta)}$

Por lo tanto, en el Hamiltoniano dado en OP los dos momentos conjugados no son componentes de $\vec{L}$ (solo p_\phi lo es), por lo que las relaciones de conmutación derivadas para los componentes de $L$ no se viola. Los dos momentos $p_\theta,p_\phi$ son sin embargo variables canónicas y por lo tanto obedecen a las relaciones canónicas de conmutación:

[{pag}_{θ}, {pag}_{ϕ}] = 0

$[p_\theta,p_\phi]=0$ como deberían.

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Respuestas (1)

jane kamden

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