¿La propiedad de los corchetes de Poisson como condición necesaria y suficiente para que la transformación sea canónica?

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Quiero saber si las condiciones (45.10) son suficientes para la transformación pag , q → PAG , q ser canónicos (obviamente, son necesarios).

Respuestas (1)

La condición (45.10) define esencialmente un simplectomorfismo . Algunos autores definen una transformación canónica (CT) como un simplectomorfismo, pero no Landau & Lifshitz (L&L). En cambio, definen un CT como una transformación.

(1) ( q i , pag i )     ↦     ( q i ( q , pag , t ) , PAG i ( q , pag , t ) )
[junto con opciones de un hamiltoniano H ( q , pag , t ) y un kamiltoniano k ( q , PAG , t ) ; y donde t es el parámetro de tiempo] que satisface
(2) ( pag i d q i − H d t ) − ( PAG i d q i − k d t )   =   d F
para alguna función generadora F , véase el texto entre las ecs. (45.5-6).

Dado que un simplectomorrismo (45.10) no dice nada sobre H y k , la condición (45.10) no es suficiente para ser un CT según L&L.

Varias definiciones de CT y sus interrelaciones se discuten en esta publicación de Phys.SE.

Hasta donde yo sé, las dos condiciones son (localmente) equivalentes si la condición de LL se establece con mayor precisión agregando algunos cuantificadores. "Para cada H hay k y F tal que (2) se cumple".
@Valter Moretti: De acuerdo.
Perdón por la respuesta tardía. ¿Qué significa que dos condiciones son equivalentes localmente?
La palabra localmente significa en este contexto en un vecindario abierto suficientemente pequeño.
¿La propiedad de los corchetes de Poisson como condición necesaria y suficiente para que la transformación sea canónica?
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