¿Cómo saber si una transformación es una transformación canónica?

Hay tres pruebas fáciles para comprobar si una transformación es canónica. Tenga en cuenta que algunas constantes multiplicativas pueden aparecer en ciertos libros de texto, según la definición exacta de transformación canónica.

Notación

Dejar$x = (p, q)$ser el$2n$variables, y las variables transformadas ser$\tilde{x}(x) = (\tilde{p}(p, q), \tilde{q}(p, q))$.

El método del simpléctico jacobiano

Dejar$J = \partial \tilde{x} /\partial x$sea ​​la matriz jacobiana de la transformación. Además, deja$\mathbb{E}$ser un$2n \times 2n$matriz de bloques

$$\mathbb{E} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Entonces la transformación es canónica si y sólo si

$$J\mathbb{E}J^T = \mathbb{E}$$

El método de los corchetes de Poisson

La transformación es canónica si y solo si se conservan los corchetes fundamentales de Poisson

$$\{\tilde{p}_i, \tilde{p}_j\} = 0 \qquad \{\tilde{q}_i, \tilde{q}_j\} = 0 \qquad \{\tilde{q}_i, \tilde{p}_j\} = \delta_{ij}$$

El método de la forma diferencial de Liouville

Esto es algo menos práctico, pero lo incluyo para completar. La transformación es canónica si y solo si la forma diferencial$\sum_i p_i \mathrm{d}q_i - \sum_i \tilde{p}_i \mathrm{d}\tilde{q}_i$está cerrado.

Sugerencia: los corchetes de Poisson son invariantes canónicos, esto es

$$\{F,G\}_{q,p}=\{F,G\}_{Q,P}$$

Otra forma (un atajo práctico) es tratar de encontrar una función generadora. En este caso, utilizaremos$F_3(Q, p)$ya que$Q$y$p$parecen ser una variable más básica. Las ecuaciones originales son equivalentes a

$$\begin{align} P &= q \, \cot p \tag{1} \\ q &= e^{-Q} \, \sin p. \tag{2} \end{align}$$ ecuación (1) es equivalente a $$\begin{align} P = e^{-Q} \, \cos p. \tag{3} \end{align}$$

Ahora de las Ecs. (2) y (3), podemos verificar fácilmente que$F_3(Q, p) = e^{-Q} \cos p$satisface

$$\begin{align} P = - \frac{ \partial F_3 }{ \partial Q }, \tag{4} \\ q = - \frac{ \partial F_3 }{ \partial p }. \tag{5} \end{align}$$ Este medio para la transformación dada es generado por este $F_3(Q, p)$, y por lo tanto es canónica.

Nótese que la posible forma funcional de$F_3(Q, p)$puede deducirse de un enfoque de prueba y error. En este caso, en realidad integramos la Ec. (4),

$$F_3 = -\int P \, dQ = -\int e^{-Q} \cos p \, dQ = e^{-Q} \cos p,$$ y luego verificó que satisfizo la Ec. (5).

La respuesta de Enucatl es bastante satisfactoria. Sin embargo, en el ejemplo

$$P=q \cot(p),$$ $$Q=\ln \left (\frac{\sin(p)}{q}\right),$$ dado en la pregunta, parece que hay un desajuste dimensional.

El argumento interior$\cot$debe haber algunos$[p/(p_o)]$donde$p_o$tiene dimensiones de cantidad de movimiento y el argumento del logaritmo debe ser

$$q_o \frac{\sin(p/p'_o)}{q},$$ $p'_o$no tiene por qué ser igual a $p_o$. Incluso si P y Q no tienen dimensiones de momento y longitud respectivamente, puede que no importe (bien conocido en cualquier caso general de una transformación canónica).

Tengo curiosidad por saber si las operaciones de emparejamiento dimensional implican (como la forma de moda (que no me gusta) de que ciertos libros tomen$c=1$y llamando a la energía relativista de una partícula libre$E =(m^2+p^2)^{1/2}$en lugar de$E = (m^2 c^4+p^2c^2)^{1/2}$etc.).