Corchete de Poisson del momento angular y una función escalar

Question

Corchete de Poisson del momento angular y una función escalar

Física
espacio de fase
momento angular
corchetes de poisson
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

Invenietis

En el contexto de la mecánica hamiltoniana, estoy tratando de demostrar la siguiente declaración:

Para cualquier función escalar $f$ , al igual que el producto escalar $\boldsymbol{q}·\boldsymbol{p}$ , los corchetes de Poisson con las componentes del momento angular desaparecen: $\left[L_{i}, f\right] = 0$

Mi intento

Para el producto escalar $\boldsymbol{q}·\boldsymbol{p}$ , haciendo uso de la expresión del momento angular en términos del símbolo de Levi-Civita, $L_i =\epsilon_{i r s} q_{r} p_{S}$ , puedo ver que la afirmación es verdadera:

[L_{i}, q_{j} {pag}_{j}] = \frac{\partial L_{i}}{\partial q_{k}} q_{j} \frac{\partial {pag}_{j}}{\partial {pag}_{k}} - \frac{\partial L_{i}}{\partial {pag}_{k}} {pag}_{j} \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{k}} = q_{j} \frac{\partial L_{i}}{\partial q_{j}} - {pag}_{j} \frac{\partial L_{i}}{\partial {pag}_{j}}

$\left[L_{i}, q_{j} p_{j}\right]=\frac{\partial L_{i}}{\partial q_{k}} q_{j} \frac{\partial p_{j}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial L_{i}}{\partial p_{k}} p_{j} \frac{\partial q_{j}}{\partial q_{k}}=q_{j} \frac{\partial L_{i}}{\partial q_{j}}-p_{j} \frac{\partial L_{i}}{\partial p_{j}}$

= q_{j} \frac{\partial ϵ_{i r s} q_{r} {pag}_{s}}{\partial q_{j}} - {pag}_{j} \frac{\partial ϵ_{i r s} q_{r} {pag}_{s}}{\partial {pag}_{j}} = ϵ_{i j s} q_{j} {pag}_{s} - ϵ_{i r s} q_{r} {pag}_{s} = 0

$=q_{j} \frac{\partial \epsilon_{i r s} q_{r} p_{s}}{\partial q_{j}}-p_{j} \frac{\partial \epsilon_{i r s} q_{r} p_{s}}{\partial p_{j}}=\epsilon_{i j s} q_{j} p_{s}-\epsilon_{i r s} q_{r} p_{s} = 0$

Sin embargo, no puedo encontrar una manera de probar esto para el caso de una función escalar general $f$ . ¿Cómo podría razonarse la afirmación?

Invenietis

Aparece en uno de mis ejercicios de clase. De hecho, se supone que la declaración es correcta, aunque también encuentro un poco extraña la parte correspondiente a la función escalar.

Invenietis

He visto, por ejemplo, que esta declaración se usa para argumentar que, en el caso de una partícula de momento magnético

μ \equiv γ L

$\boldsymbol{\mu} \equiv \gamma \boldsymbol{L}$ en un campo magnético

B

$\boldsymbol{B}$ , el soporte de Poisson

[L, \frac{p^{2}}{2 m}]

$\left[\boldsymbol{L}, \frac{p^{2}}{2 m}\right]$ es cero

Invenietis

es el cuadrado del momento lineal,

p^{2} = p \cdot p

$p^2=\boldsymbol{p}·\boldsymbol{p}$

Invenietis

Continuemos esta discusión en el chat .

Valter Moretti

tal como está, la afirmación es falsa. la función

f

$f$ debe ser una función escalar construida a partir de

p

$p$ ,

q

$q$ solo _

Respuestas (1)

Corchete de Poisson del momento angular y una función escalar

Aparece en uno de mis ejercicios de clase. De hecho, se supone que la declaración es correcta, aunque también encuentro un poco extraña la parte correspondiente a la función escalar.
He visto, por ejemplo, que esta declaración se usa para argumentar que, en el caso de una partícula de momento magnético $\boldsymbol{\mu} \equiv \gamma \boldsymbol{L}$ en un campo magnético $\boldsymbol{B}$ , el soporte de Poisson $\left[\boldsymbol{L}, \frac{p^{2}}{2 m}\right]$ es cero
es el cuadrado del momento lineal, $p^2=\boldsymbol{p}·\boldsymbol{p}$
tal como está, la afirmación es falsa. la función $f$ debe ser una función escalar construida a partir de $p$ , $q$ solo _

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

En el contexto de la mecánica hamiltoniana, el desplazamiento de Poisson con $L_i$ es la definición de ser una función escalar.

En general, un tensor $T$ de rango $2j$ es por definición una función que satisface

{L^{i}, T^{a}} = t^{i}^{a}_{b} T^{b}

$\{L^i,T^a\}=t^i{}^a{}_b T^b$ dónde

t^{i}

$t^i$ son las matrices que generan

S O (3)

$SO(3)$ en el

2 j + 1

$2j+1$ representación dimensional. Un escalar es

j = 0

$j=0$ así la representación unidimensional, cuyos generadores se desvanecen,

t^{i} = 0

$t^i=0$ . Así que un escalar de Poisson conmuta con

L_{i}

$L_i$ , por definición misma de ser un escalar.

Si no le gusta esto, deberá encontrar una definición alternativa de ser un escalar. Si lo intentas, te convencerás de que todos los intentos conducen a la condición. $\{L_i,T\}=0$ de una forma u otra, así que no hay una buena definición alternativa, realmente. La razón subyacente es que, escalar significa invariante bajo rotaciones, y $L_i$ son precisamente los generadores de rotaciones, implementados mediante $\{L_i,\cdot\}$ , por lo que ser un escalar es literalmente ser aniquilado por este operador.

Entonces, para cada función no vectorial (digamos el cuadrado del momento lineal, $p^2$ , o una combinación con el $q$ coordinar como $q^3p^5$ ), podemos asegurar que automáticamente conmutará Poisson con las componentes del momento angular, $L_i$ ?
@Invenietis No sé qué significa "función no vectorial", y estoy seguro de que si intenta encontrar una definición precisa, podrá convencerse de que no hay una buena definición que no sea " una función con la que conmuta Poisson $L$ ". ¿Puedo invitarlo a tratar de encontrar una definición precisa de "función no vectorial"?
(Pero de todos modos, más a su pregunta: cualquier función de $q_i,p_i$ que depende de estas variables solo a través de las combinaciones $\sum_i q_i^2, \sum_i p_i^2,\sum_i q_ip_i$ , viajará Poisson con $L$ . Cualquier función (analítica) que dependa de $q_i,p_i$ de una manera que no involucre solo estas combinaciones, no se conmutará a Poisson).
Si $a\neq 0$ es un vector constante, $f(x,p) = a \cdot p$ es un escalar pero no es invariante bajo rotaciones... Entiendo que estás considerando funciones de $x$ y $p$ solamente, pero en la pregunta original no se asume esta restricción. Creo que la pregunta original es ambigua. Su respuesta correcta es el comentario anterior en realidad.
(Añadiendo a las posibilidades permitidas el valor absoluto del producto vectorial de los vectores considerados.)
@ValterMoretti Su $f$ no es invariante bajo rotaciones ni conmuta con $L_i$ , ¿lo hace? Yo creo $\{\vec L,\vec a\cdot\vec p\}=\vec a\times\vec p\neq0$ , o arruiné el cálculo?
@ValterMoretti Es... no. Un escalar no significa "un número". El primer componente de $p_i$ es también "un número", pero claramente no es un escalar. "Escalar" significa "transforma bajo la representación trivial de cualquier grupo que sea relevante para el problema en cuestión". Aquí "escalar" significa escalar bajo O(3). Su función no es un escalar bajo O(3).
sí, interpretando así el término "escalar", la respuesta es casi una tautología.
En el caso de $f(x,p) = a \cdot p$ o funciones 'escalares' equivalentes, creo que también es importante decir que estas serán invariantes bajo el grupo de rotación si realmente considera $a$ como un vector, lo que implicaría automáticamente que se transforma bajo $O(3)$ , lo que hace que esta función sea invariante bajo rotaciones. Lo único es que en este caso, el generador de rotaciones en $a$ no sería generado por los componentes de $L$ .

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