Diferencia entre índices inclinados en un tensor

Cada uno de los índices en un tensor tiene un orden particular de izquierda a derecha. Este orden no se puede cambiar a menos que el tensor tenga alguna simetría particular que lo permita (o más bien, que iguale diferentes componentes en el intercambio).

Las posiciones arriba-abajo de los índices nos informan si el índice está asociado con el uso de un vector base (arriba) o un covector base (abajo) para ese índice para ayudar a extraer el componente. Dejar$v$sea ​​un tensor de un índice.$v^a$son los componentes asociados con un conjunto de vectores base$e_{(a)}$, y$v_a$son los componentes asociados con un conjunto de covectores base$e^{(a)}$. En general,$v_a \neq v^a$para un sistema de coordenadas arbitrario. Cada índice se puede asociar con vectores base o covectores base, y no es necesario usar todos los mismos tipos de elementos base para todos los índices de un tensor.

En un espacio con una métrica, podemos convertir de un lado a otro entre el uso de vectores base y covectores base para extraer componentes de tensores (podemos subir o bajar índices más o menos a voluntad), por lo que tendemos a asociar todas esas combinaciones de bajar índices con el mismo objeto inherente. Aún así, si un índice en particular está arriba o abajo para una situación dada depende de lo que sea conveniente o necesario usar.

Editar: estrictamente hablando, escribir un objeto indexado con dos índices alineados uno encima del otro realmente no tiene sentido. Aún así, los físicos a menudo hacen esto de todos modos para, por ejemplo, los símbolos de Christoffel; es relativamente raro que se usen de otra manera que no sea como$\Gamma^a_{bc}$. Aún así, cuando se trata del tensor de Riemann u otros objetos similares, es mejor pensar que cada índice ocupa una columna completa: nada más debe estar por encima o por debajo de ese índice, para dejar espacio para que se mueva libremente hacia arriba o hacia abajo cuando contraído con la métrica.

Una manera fácil de ver que son distintos es considerar lo que sucede al subir (o bajar) todos los índices.

Por ejemplo, al bajar,

Debe "inclinar" los índices para mantener un registro del orden correcto al bajar y subir. Por ejemplo, si solo escribes$T_{ab}^{cde}$, y bajas el índice$c$, cuál es el tensor correcto:$T_{acb}^{de}$,$T_{cab}^{de}$, o$T_{abc}^{de}$? La notación es ambigua si no "inclina" sus índices.