Confusión delta de Kronecker

Question

Confusión delta de Kronecker

Pedro4075

Estoy confundido acerca del delta de Kronecker. En el contexto del espacio-tiempo de cuatro dimensiones, multiplicando el tensor métrico por su inverso, he visto (donde los índices de arriba y de abajo son los mismos):

{gramo}^{m v} {gramo}_{m v} = d_{v}^{v} = d_{0}^{0} + d_{1}^{1} + d_{2}^{2} + d_{3}^{3} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta_{\nu}^{\nu}=\delta_{0}^{0}+\delta_{1}^{1}+\delta_{2}^{2}+\delta_{3}^{3}=1+1+1+1=4.$ Pero también he visto (donde los índices de arriba y abajo son diferentes):

{gramo}^{m v} {gramo}_{v λ} = d_{λ}^{m} = (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) .

$g^{\mu\nu}g_{\nu\lambda}=\delta_{\lambda}^{\mu}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$

¿Cómo puede haber dos respuestas diferentes a (lo que me parece ser) la misma operación, es decir, multiplicar el tensor métrico por su inverso? Disculpas si tengo esto completamente equivocado.

twistor59

No son lo mismo: el primero no tiene índices libres, el segundo tiene dos

μ

$\mu$ y

λ

$\lambda$

qmecanico

Véase también la entrada de notación de Einstein en Wikipedia.

Pedro4075

Lo siento, todavía no puedo verlo. ¿Ambas ecuaciones no se refieren a multiplicar una métrica por su inversa? Si es así, ¿por qué dos respuestas diferentes? ¡No se preocupe si sus respuestas son demasiado simples!

Miguel

La segunda ecuación se refiere a multiplicar una métrica por su inversa. El primero se refiere a multiplicar una métrica por su inversa, y luego tomar su traza.

twistor59

O, parafraseando el comentario de Mike y la respuesta de Jerry, si haces la segunda, tienes una matriz. El primero se obtiene sumando los elementos diagonales de esa matriz. Los "1" en tu primera ecuación son los mismos "1" que están dispuestos en diagonal en la segunda.

Respuestas (2)

Confusión delta de Kronecker

No son lo mismo: el primero no tiene índices libres, el segundo tiene dos $\mu$ y $\lambda$
Véase también la entrada de notación de Einstein en Wikipedia.
Lo siento, todavía no puedo verlo. ¿Ambas ecuaciones no se refieren a multiplicar una métrica por su inversa? Si es así, ¿por qué dos respuestas diferentes? ¡No se preocupe si sus respuestas son demasiado simples!
La segunda ecuación se refiere a multiplicar una métrica por su inversa. El primero se refiere a multiplicar una métrica por su inversa, y luego tomar su traza.
O, parafraseando el comentario de Mike y la respuesta de Jerry, si haces la segunda, tienes una matriz. El primero se obtiene sumando los elementos diagonales de esa matriz. Los "1" en tu primera ecuación son los mismos "1" que están dispuestos en diagonal en la segunda.

jerry schirmer · Answer 1

En términos de su multiplicación de matriz ordinaria, tiene, para el caso de una matriz de 4x4 $M = g_{ab}$ :

$M\cdot M^{-1} = I$ , que es lo mismo que $g_{ab} g^{bc} = \delta_{a}{}^{c}$

y

$Tr\left(M\cdot M^{-1}\right) = 4$ , que es lo mismo que $g_{ab}g^{ab} = \delta_{a}{}^{a} = 4$

hijo de saturno · Answer 2

Es útil saber cómo se define la multiplicación de matrices:

Para $n \times n$ matrices, $A$ y $B$ , indique la entrada en el $i$ fila y $j$ columna por $A^i_j$ y $B^i_j$ respectivamente. Entonces para $C = AB$ , las entradas están dadas por

C_{j}^{i} = A_{k}^{i} B_{j}^{k}

$C^i_j = A^i_kB^k_j$ (convención de suma, por supuesto), que puede verificar resolviendo algunos ejemplos.

Ahora, cuando tenemos una matriz y es inversa, al multiplicarlas se obtiene la matriz identidad, o usando la definición anterior:

A_{k}^{i} (A^{- 1})_{j}^{k} = d_{j}^{i},

$A^i_k (A^{-1})^k_j = \delta^i_j,$ ya que las entradas de la matriz identidad están dadas por el símbolo delta de Kronecker.

La huella de una matriz. $A$ simplemente está dada por $Tr(A) = A^i_i$ . En el caso de que la matriz $C$ es un producto, combinando las dos fórmulas (para multiplicación de trazas y matrices), su traza estaría dada por $Tr(C) = C^i_i = A^i_kB^k_i$ , que es lo que estás haciendo en el primer caso.

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Miguel

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hijo de saturno

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