Reordenación de términos en notación de índice abstracto — Relatividad general

Question

Reordenación de términos en notación de índice abstracto — Relatividad general

corazonesdefuego

En General Relativity de Wald, el autor hace una afirmación que estoy tratando de entender. El quid de mi pregunta se reduce a entender por qué $\eqref{eq1}$ es cierto, pero he incluido el contexto a continuación en caso de que sea útil o si la prueba debe usar un método diferente. Pero en resumen, ¿alguien puede explicar por qué

\begin{matrix} (1) & t^{a} {gramo}_{b C} v^{b} \nabla_{a} (w^{C}) = {gramo}_{b C} v^{b} t^{a} \nabla_{a} (w^{C}) \end{matrix}

$t^ag_{bc}v^b\nabla_a(w^c) = g_{bc}v^bt^a \nabla_a (w^c) \tag{1}\label{eq1}$

Contexto:

La definición de una geodésica. $v^b$ (en notación de índice abstracto) es que

t^{a} \nabla_{a} v^{b} = 0

$t^a\nabla_av^b = 0$ Ahora, supongamos que tenemos dos geodésicas

v^{b}

$v^b$ y

w^{c}

$w^c$ y una derivada covariante tal que

t^{a} \nabla_{a} ({gramo}_{b C} v^{b} w^{C}) = 0

$t^a \nabla_a (g_{bc} v^bw^c) = 0$ El libro de texto afirma que de la regla de Leibnitz se sigue que

\begin{matrix} (2) & t^{a} v^{b} w^{C} \nabla_{a} {gramo}_{b C} = 0 \end{matrix}

$t^av^bw^c\nabla_ag_{bc} = 0 \tag{2}\label{eq2}$ Este es el resultado que estoy tratando de replicar. Me queda claro que la regla de Leibnitz implica

t^{a} \nabla_{a} ({gramo}_{b C} v^{b} w^{C}) = t^{a} v^{b} w^{C} \nabla_{a} ({gramo}_{b C}) + t^{a} {gramo}_{b C} \nabla_{a} (v^{b} w^{C})

$t^a \nabla_a (g_{bc} v^bw^c) = t^av^bw^c\nabla_a(g_{bc}) + t^a g_{bc} \nabla_a (v^bw^c)$ Por lo tanto, la afirmación es equivalente a la afirmación

\begin{matrix} (3) & t^{a} {gramo}_{b C} \nabla_{a} (v^{b} w^{C}) = 0 \end{matrix}

$t^a g_{bc} \nabla_a (v^bw^c) = 0 \tag{3}\label{eq3}$ Si aplicamos nuevamente la regla de Leibnitz, es inmediato que esta cantidad es igual a

t^{a} {gramo}_{b C} v^{b} \nabla_{a} (w^{C}) + t^{a} {gramo}_{b C} w^{C} \nabla_{a} (v^{b})

$t^a g_{bc} v^b \nabla_a (w^c) + t^a g_{bc} w^c \nabla_a (v^b)$ a partir del cual

(1)

$\eqref{eq1}$ fácilmente nos permitiría aplicar la definición de una geodésica y concluir la prueba. Pero ¿por qué es

(1)

$\eqref{eq1}$ ¿verdadero? ¿Alguien puede explicar por qué parece que este producto tensorial se lleva a conmutar por alguna razón?

Triático

Entonces, ¿solo estás preguntando por (1)? No hay necesidad del resto del cuerpo de la pregunta, entonces, si ese es el caso, su problema es entonces sobre la notación de suma de Einstein, si escribe los símbolos de suma, puede ver rápidamente que no importa el orden en que coloque el individuo elementos a medida que se suman por índice

corazonesdefuego

@Triatticus Sí, mi pregunta es solo sobre (1), pero a priori no sabía si la declaración era cierta por sí sola o si se necesitaba más contexto. En general

t^{a} g_{b c} v^{b} \neq g_{b c} v^{b} t^{a}

$t^ag_{bc}v^b \neq g_{bc}v^bt^a$ , ya que los productos tensoriales no son conmutativos. Pero si te entiendo bien, ¿no importa porque estamos contrayendo estos índices?

Respuestas (2)

Reordenación de términos en notación de índice abstracto — Relatividad general

Entonces, ¿solo estás preguntando por (1)? No hay necesidad del resto del cuerpo de la pregunta, entonces, si ese es el caso, su problema es entonces sobre la notación de suma de Einstein, si escribe los símbolos de suma, puede ver rápidamente que no importa el orden en que coloque el individuo elementos a medida que se suman por índice
@Triatticus Sí, mi pregunta es solo sobre (1), pero a priori no sabía si la declaración era cierta por sí sola o si se necesitaba más contexto. En general $t^ag_{bc}v^b \neq g_{bc}v^bt^a$ , ya que los productos tensoriales no son conmutativos. Pero si te entiendo bien, ¿no importa porque estamos contrayendo estos índices?

Michael Seifert · Answer 1

Esta es solo una característica de la notación de índice abstracto. El orden en que se escribe un producto tensorial en realidad no importa, porque los índices abstractos realizan un seguimiento de "qué ranura es cuál".

Supongamos que tenemos dos formas uno $m_a$ y $n_b$ . el tensor $T_{ab} \equiv m_a n_b$ representa el tensor $T: V \times V \to \mathbb{R}$ cuyas acciones sobre los elementos $\mathbf{e}$ de alguna base de $V$ son dados por

T ({mi}_{α}, {mi}_{β}) = metro ({mi}_{α}) norte ({mi}_{β})

$T(\mathbf{e}_\alpha, \mathbf{e}_\beta) = m(\mathbf{e}_\alpha) n(\mathbf{e}_\beta)$ mientras que el tensor

T_{a b} \equiv n_{b} m_{a}

$T_{ab} \equiv n_b m_a$ es el tensor cuya acción viene dada por

T ({mi}_{α}, {mi}_{β}) = norte ({mi}_{β}) metro ({mi}_{α})

$T(\mathbf{e}_\alpha, \mathbf{e}_\beta) = n(\mathbf{e}_\beta) m(\mathbf{e}_\alpha)$ que podemos ver es la misma acción.

Tienes razón en que el producto tensorial no conmuta en el sentido de que $\mathbf{m} \otimes \mathbf{n} \neq \mathbf{n} \otimes \mathbf{m}$ en "notación matemática"; pero la última expresión en notación de índice abstracto no sería $n_b m_a$ sino más bien $T'_{ab} \equiv n_a m_b$ , y su acción sobre los elementos base sería

T^{'} ({mi}_{α}, {mi}_{β}) = norte ({mi}_{α}) metro ({mi}_{β}),

$T'(\mathbf{e}_\alpha, \mathbf{e}_\beta) = n(\mathbf{e}_\alpha) m(\mathbf{e}_\beta),$ que es, por supuesto, un tensor diferente.

Para aplicar esto a tu caso: el tensor $T^{a} {}_c \equiv t^a g_{bc} v^b$ representa el tensor $T : V^* \times V \to \mathbb{R}$ definido por

T (\underset{"un espacio}{\underset{⏟}{ω ω^{α}}}, \underset{ranura "c"}{\underset{⏟}{{mi}_{γ}}}) \equiv \sum_{β} t (\underset{"un espacio}{\underset{⏟}{ω ω^{α}}}) gramo ({mi}_{β}, \underset{ranura "c"}{\underset{⏟}{{mi}_{γ}}}) v (ω ω^{β})

$T(\underbrace{\pmb{\omega}^\alpha}_\text{"a" slot}, \underbrace{\mathbf{e}_\gamma}_\text{"c" slot}) \equiv \sum_\beta t(\underbrace{\pmb{\omega}^\alpha}_\text{"a" slot}) g(\mathbf{e}_\beta, \underbrace{\mathbf{e}_\gamma}_\text{"c" slot}) v(\pmb{\omega}^\beta)$ dónde

e

$\mathbf{e}$ y

ω ω

$\pmb{\omega}$ pertenecen a alguna base sobre

V

$V$ y su base dual, respectivamente. Entonces podríamos mirar el tensor

{\tilde{T}}^{a}_{c} \equiv g_{b c} v^{b} t^{a}

$\tilde{T}^{a} {}_c \equiv g_{bc} v^b t^a$ ; representaría el tensor

\tilde{T} : V^{*} \times V \to R

$\tilde{T} : V^* \times V \to \mathbb{R}$ definido por

\tilde{T} (\underset{"un espacio}{\underset{⏟}{ω ω^{α}}}, \underset{ranura "c"}{\underset{⏟}{{mi}_{γ}}}) \equiv \sum_{β} gramo ({mi}_{β}, \underset{ranura "c"}{\underset{⏟}{{mi}_{γ}}}) v (ω ω^{β}) t (\underset{"un espacio}{\underset{⏟}{ω ω^{α}}})

$\tilde{T}(\underbrace{\pmb{\omega}^\alpha}_\text{"a" slot}, \underbrace{\mathbf{e}_\gamma}_\text{"c" slot}) \equiv \sum_\beta g(\mathbf{e}_\beta, \underbrace{\mathbf{e}_\gamma}_\text{"c" slot}) v(\pmb{\omega}^\beta) t(\underbrace{\pmb{\omega}^\alpha}_\text{"a" slot})$ Es de esperar que sea obvio a partir de estas expresiones que los dos tensores

T

$T$ y

\tilde{T}

$\tilde{T}$ son iguales.

Probablemente he jugado un poco demasiado rápido y suelto con el trasfondo matemático formal aquí; ¡El objetivo de la notación de índice abstracto es garantizar que no tenga que pensar en estas cosas! Como siempre, acepto correcciones o solicitudes de aclaración.
Por curiosidad... ¿la teoría del tensor tiene un nombre diferente si los escalares no son conmutativos?
@MichaelSeifert ¡Gracias, creo que ahora lo entiendo! Realmente no me gusta la notación de índice abstracto exactamente por esta razón, pero espero que esto me ayude a acostumbrarme.
@user2233816: Gracioso, no podría imaginarme haciendo cálculos en GR sin él. No es raro que en mi investigación necesite construir un tensor de rango 4 o superior a través de productos de tensores de rango inferior. No puedo imaginar tener que hacer un seguimiento de todas las diversas contracciones y permutaciones de dicho tensor utilizando la "notación matemática". (Pero entonces, puedo ser parcial, ya que Wald fue mi asesor de doctorado).

Claudio Saspinski · Answer 2

La expresión (1) es solo una suma de productos. Y el orden de los factores no cambia cada producto.

Para cada valor de a, b y c hay un término: $t^ag_{bc}v^b\nabla_a(w^c)$ . Y todos estos términos se suman. No hay problema en cambiar el orden de las funciones.

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