Pregunta de notación de índice

Digamos que comenzamos con un tensor general (no simétrico o antisimétrico)$A_{\mu\nu}$. Nota$A_{01} \neq A_{10}$(y lo mismo para otras combinaciones). Entonces

$$\begin{equation} A^\mu{}_\nu = g^{\mu\rho} A_{\rho\nu} \neq g^{\mu\rho}A_{\nu\rho} = A_\nu{}^\mu \end{equation}$$ que podría ver escribiendo explícitamente ambos lados del signo de diferencia para un valor específico de$\mu$y$\nu$(decir$\mu=\nu=0$).

Si$A_{\mu\nu}$es simétrico, sin embargo, en el sentido de que$A_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}$, entonces$A^\mu{}_\nu = A_\nu{}^\mu$. En ese caso, por pura pereza, algunas personas escriben$A^\mu_\nu$en lugar de uno de$A^\mu{}_\nu$o$A_\nu{}^\mu$. Sin embargo la notación$A^\mu_\nu$es solo una abreviatura y no tiene sentido si$A$no es un tensor simétrico.