Manipulación de la notación del índice tensorial

Los tensores, según entiendo, son una especie de funciones que contienen información sobre cómo transformar un conjunto de vectores y vectores duales, representados por una matriz. Sin embargo, lo que no entiendo es la notación diferente utilizada para representarlos. Por ejemplo, he visto ambos

$g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix}-1 && 0 &&0&&0\\0&&1&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\0&&0&&0&&1 \end{pmatrix} \tag*{}$

es decir, el tensor métrico, indicado con los índices siguientes, y otros tensores indicados, digamos,$T^{\mu \nu}$o$T^{\mu}{}_{\nu}$. Estos transformarían diferentes tipos, como en, dos vectores ($g_{\mu \nu}$), dos vectores duales, o un vector y un vector dual. No puedo entender cómo, dado un tensor, reorganizar los componentes para formar otros tensores, digamos tomar$g_{\mu \nu}$y encontrar$g^{\mu}{}_{\nu}$,$g^{\mu \nu}$, o incluso$g_{\mu}{}^{\nu}$Por ejemplo. ¿Cómo se haría esto?