Notación de índice de tétrada correcta

Parece haber algunas convenciones diferentes en los índices de la tétrada. Me pregunto cuál es el estándar, cuál es correcto y cuál es un abuso de notación.

En las notas de Sean Carroll y en Wikipedia veo la tétrada representada como$e^I_\mu$. Esta notación es segura para transmitir intenciones de uso para convertir índices del griego al latín y viceversa, pero tan pronto como comience a subir y bajar los propios índices de la tétrada (como lo hace Wikipedia), la representación se vuelve ambigua.$e^I_\mu$podría representar cualquiera${e_\mu}^I$o podría representar${e^I}_\mu$, y estos dos valores no son iguales.

Otras fuentes como la teoría del campo de vierbein del espacio curvo de Einstein (Yepez 2008) hacen la distinción de escribir${e_\mu}^I$como la transformación de$\eta_{IJ}$a$g_{\mu\nu}$y${e^\mu}_I$como el inverso. Otras fuentes invierten los índices griego y latino y usan${e^I}_\mu$como la transformación de$\eta_{IJ}$a$g_{\mu\nu}$.

Voy a usar algunas matemáticas matriciales para hacer mi punto. Dejar$G = ||g_{\mu\nu}||$Sea la matriz que representa el tensor métrico covariante,$H = \eta_{IJ}$sea ​​la matriz del tensor lorentziano,$E = ||{e_\mu}^I||$Sea la transformación de tétrada de$H$a$G$, y$(E^T)^{-1} = ||{e^\mu}_I||$ser la transformación de$G$a$H$(Transpuesto por consistencia en el orden de los índices). Las reglas de transformación de tétrada y sus matrices equivalentes son las siguientes:

$$\begin{matrix} g_{\mu\nu} = {e_\mu}^I \eta_{IJ} {e_\nu}^J & & G = E H E^T \\ g^{\mu\nu} = {e^\mu}_I \eta^{IJ} {e^\nu}_J & & G^{-1} = (E^T)^{-1} H^{-1} E^{-1} \\ \eta_{IJ} = {e^\mu}_I g_{\mu\nu} {e^\nu}_J & & H = E^{-1} G (E^T)^{-1} \\ \eta^{IJ} = {e_\mu}^I g^{\mu\nu} {e_\nu}^J & & H^{-1} = E^T G^{-1} E \end{matrix}$$

Estas reglas se pueden usar para mostrar que subir y bajar la tétrada de transformación hacia adelante puede producir la tétrada de transformación inversa, por lo que la gimnasia indexada funciona correctamente en${e_\mu}^I$y${e^\mu}_I$:

$$\begin{matrix} {e^\mu}_I = g^{\mu\nu} {e_\nu}^J \eta_{IJ} & & (E^T)^{-1} = G^{-1} E H \end{matrix}$$

La ambigüedad surge cuando comenzamos con${e_\mu}^I$y usa la gimnasia indexada para llegar a${e^I}_\mu$:

$${e_\sigma}^I g^{\sigma\nu} {e_\nu}^J \eta_{JK} {e_\mu}^K = {e^I}_\mu$$ La matriz equivalente dice: $$E^T G^{-1} E H E^T=E^*$$ Esto se puede reorganizar para mostrar $$G^{-1} E H=(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1}$$ combinar esto con la primera de las identidades anteriores da $$(E^T)^{-1} E^* (E^T)^{-1} = (E^T)^{-1}$$ reorganizar: $$E^* = E^T$$ solo conseguimos $E^*=E$en el caso de que $E=E^T$, que no es una restricción sobre los valores de ${e_\mu}^I$. Por lo tanto en general ${e_\mu}^I \neq {e^I}_\mu$. Por lo tanto, subir o bajar el ambiguo $e^I_\mu$tensor por el tensor métrico o el tensor lorentziano podría describir uno de dos valores diferentes.

Lo que he recopilado en general de esto es:

• Usando$e^I_\mu$es comunicable siempre y cuando nunca intentes simplificar$g^{\mu\nu} e^I_\mu$en cualquiera$e^{\nu I}$o$e^{I \nu}$ya que estos valores son diferentes. Del mismo modo para$e^I_\mu \eta_{IJ}$en cualquiera$e_{\mu J}$o$e_{J \mu}$. La entrada de Wikipedia que cité comete este error.
• Usando cualquiera${e_\mu}^I$o${e^I}_\mu$como tu tétrada transformándose$\eta_{IJ}$a$g_{\mu\nu}$es más conciso que$e^I_\mu$, aunque no existe un estándar sobre cuál de estas dos opciones es la correcta.
• La mayoría de las fuentes mantendrán su griego primero y latín segundo, o viceversa, y nunca realizarán suficientes índices de gimnasia para reorganizar este orden. Esta es una apuesta segura para no encontrarse con la situación que describo anteriormente.

Bien, dejando de lado todo mi trabajo, ¿cuál es la forma correcta de hacer referencia a la tétrada?