¿Sigue gμμgμμg_{\mu\mu} en una expresión la convención de suma de Einstein?

Supongamos que tengo la expresión para un símbolo de Christoffel:

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2}g^{\mu \lambda}(\partial_\alpha g_{\beta \lambda}+\partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha \beta}).\tag{1}$$

Si la métrica$g_{\mu\nu}$es diagonal entonces la identidad

$$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu_\nu\tag{2}$$ se simplifica a la expresión $$g^{\mu\mu}g_{\mu\mu}=1.\tag{3}$$

Por lo tanto, ¿la siguiente expresión para el símbolo de Christoffel es notacionalmente correcta?

$$\Gamma^\mu_{\alpha \beta}=\frac{1}{2g_{\mu \mu}}(\partial_\alpha g_{\beta \mu}+\partial_\beta g_{\alpha \mu} - \partial_\mu g_{\alpha \beta}).\tag{4}$$

¿Obedece correctamente la convención de suma de Einstein como la repetición$\mu$¿El índice no está resumido?

Si la expresión no es correcta, ¿cómo se debe escribir?

Suma

Ok, veo la manipulación correcta para obtener una forma totalmente covariante usando la notación de Einstein:

$$\begin{eqnarray}\tag{5} \Gamma_{\gamma\alpha\beta}&=&g_{\gamma\mu}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\\ &=&\frac{1}{2}g_{\gamma\mu}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}\delta^\lambda_\gamma(\partial_\alpha g_{\beta\lambda} + \partial_\beta g_{\alpha \lambda} - \partial_\lambda g_{\alpha\beta})\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\alpha g_{\beta\gamma} + \partial_\beta g_{\alpha \gamma} - \partial_\gamma g_{\alpha\beta}) \end{eqnarray}$$

Eso es correcto, ¿no?