Notación tensorial para derivada y derivada covariante

Todas las fórmulas que mostraste arriba usan notación de índice abstracto , excepto la tercera fórmula que se expresa completamente y es una base. Para un campo vectorial, puede escribir, por ejemplo

$$V = V^\mu e_\mu\;,$$ dónde $V^\mu$es un escalar mientras $e_\mu$es una base vectorial. Esta es una especie de confusión porque en la notación de índice abstracto vemos $V^\mu$como un campo vectorial.

Cuando tomamos la derivada covariante, se lee

$$\nabla_\mu V=\nabla_\mu (V^\nu e_\nu) = \nabla_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \nabla_\mu ( e_\nu)$$ $$\begin{eqnarray} &=& \partial_\mu (V^\nu) e_\nu + V^\nu \Gamma_\mu{}^\lambda{}_\nu e_\lambda\;,\\ &=&\big( \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\big)e_\nu \end{eqnarray}$$ si definimos $$\nabla_\mu V =: (\nabla_\mu V^\nu) e_\nu$$ tendremos la relación en la notación de índice abstracto $$\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu +\Gamma_\mu{}^\nu{}_\lambda V^\lambda\;.$$ (Más general, puede comenzar con $\nabla V$y luego definir $\nabla V =:(\nabla_\mu V^\nu) e^\mu \otimes e_\nu$) A continuación, la métrica $g$, es un tensor (o,2) por lo que tiene dos ranuras para insertar 2 vectores si insertamos la base en estas ranuras obtendremos un componente del tensor métrico que es un campo escalar $$g(e_\mu, e_\nu)=g_{\mu\nu}$$

($g= g_{\alpha\beta} e^\alpha \otimes e^\beta,\;g(e_\mu, e_\nu) =g_{\alpha\beta} e^\alpha(e_\mu) \otimes e^\beta(e_\nu) =g_{\alpha\beta}\delta^\alpha_\mu \delta^\beta_\nu= g_{\mu\nu}$)

También se suele definir que$\eta(A,B):= A\cdot B$,$\eta$es una métrica minkowskiana$A\cdot B$es un escalar por lo que es invariante bajo transformaciones de coordenadas

$$A\cdot B =\eta(A,B) \equiv \eta_{IJ} A^I B^J$$ $$= g(A,B) \equiv g_{\mu\nu} A^\mu B^\nu$$ dónde $A^I = e^I_\mu A^\mu$para algún escalar $e^I_\mu$(un vierbein), y puedes probar fácilmente que $g_{\mu\nu} = \eta_{IJ} e^I_\mu e^J_\nu$.

Así que ahora tenemos

$$e_\mu \cdot e_\nu =\eta_{IJ}e^I_\mu e^J_\nu= g_{\mu\nu}$$

En este paso, podemos ver$\eta_{IJ},g_{\mu\nu}$como los campos escalares$e^I_\mu$como campo vectorial

$$\begin{eqnarray} \nabla_\gamma g_{\alpha\beta} (= \partial _\gamma g_{\alpha\beta})&=& \nabla_\gamma (e_\alpha\cdot e_\beta) \\ &=&\eta(\nabla_\gamma e_\alpha,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\nabla_\gamma e_\beta) \equiv \eta_{IJ}\nabla_\gamma(e^I_\alpha) e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \nabla_\gamma(e^J_\beta) \\ &=&\eta(\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho,e_\beta) +\eta(e_\alpha,\Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\sigma) \equiv \eta_{IJ}\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e^I_\rho e^J_\beta + \eta_{IJ}e^I_\alpha \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e^J_\sigma \\ &=&\Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta( e_\rho,e_\beta) + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta\eta(e_\alpha, e_\sigma) \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha \eta_{IJ} e^I_\rho e^J_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta \eta_{IJ}e^I_\alpha e^J_\sigma \\ &=& \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha e_\rho \cdot e_\beta + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta e_\alpha \cdot e_\sigma \equiv \Gamma_\gamma{}^\rho{}_\alpha g_{\rho \beta} + \Gamma_\gamma{}^\sigma{}_\beta g_{\alpha \sigma} \end{eqnarray}$$ Nota: No se detalla en la medida de lo posible, pero puede ser útil para usted.

Puede que esta no sea la respuesta que está buscando porque no proporciono ninguna intuición aquí, pero desde una perspectiva computacional, no es tan difícil ver por qué la derivada de la métrica involucra símbolos de Christoffel.

La conexión afín comúnmente utilizada en la relatividad general se elige para que esté libre de torsión y sea compatible con la métrica . La segunda condición significa que la derivada covariante de la métrica desaparece.

$$\nabla_\gamma g_{\alpha\beta} = 0.$$ Estas dos condiciones especifican de manera única la conexión que se llama conexión Levi-Civita . Se puede demostrar que la derivada covariante asociada de un 2-tensor arbitrario satisface (ver, por ejemplo, GR de Carroll, sección 3.2): $$\nabla_\gamma T_{\alpha\beta} = \partial_\gamma T_{\alpha\beta} - \Gamma_{\gamma\alpha}^\mu T_{\mu\beta} - \Gamma_{\gamma\beta}^\mu T_{\alpha\mu}$$ Conectar la métrica, notar que el lado izquierdo desaparece y reorganizar da el resultado deseado.