Puede escribir la parte de interacción (a escala) de la acción como:
SI≡∫Rdddr ϕ( r ) ∫Rdddr′ k( r -r′) ϕ ( r′)
Consideremos la integral interior
r′
primero (lo llamaré
I
para facilitar las cosas). En expansión
ϕ (r′)
alrededor
r
da :
I≡∫Rdddr′ k( r -r′) ϕ ( r′) ≈∫Rdddr′ k( r -r′) ( ϕ ( r ) + ∑yo = 1d(X′i−Xi)∂iϕ ( r ) + 12∑yo = 1d∑j = 1d(X′i−Xi) (X′j−Xj)∂i∂jϕ ( r ) )
Ahora toma la integral adentro para obtener:
I≈ ϕ ( r )∫Rdddr′ k( r -r′) + ∑yo = 1d∂iϕ ( r )∫Rdddr′ (X′i−Xi) k( r -r′) +12∑yo = 1d∑j = 1d∂i∂jϕ ( r ) ×∫Rdddr′(X′i−Xi) (X′j−Xj) k( r -r′) )
Suponiendo ahora que el acoplamiento es homogéneo,
k( r -r′) ≡ K(r′- r )
. Con eso en mente, y también cambiando variables.
R ≡r′- r
, obtenemos:
I≈ ϕ ( r )∫RdddRK _ ( R ) + ∑yo = 1d∂iϕ ( r )∫RdddR Rik( R ) +12∑yo = 1d∑j = 1d∂i∂jϕ ( r ) × ∫RdddR RiRjk( R ) )
Puedes relacionar cada una de las integrales sobre
R
a la transformada de Fourier de
k( R )
definido como
k~( q) ≡∫RdddRK _ ( R ) experiencia( - yo q. R )
:
- Primera integral:
∫RdddRK _ ( R ) =∫RdddRK _ ( R ) mi− yo q. R|q= 0=k~( 0 )
- Segunda integral:
∫RdddR Rik( R ) = 0
Debido a que el integrando es extraño como mencionaste.
- Tercera integral:
para esta, primero notamos que, como mencionaste, la integral es cero para todos los diferentes
yo , j
. Para
yo = j
, primero tenga en cuenta que:
∂2∂q2i∫RdddRK _ ( R ) mi− yo q. R=∫RdddR (-yo)(-yo) RiRik( R ) mi− yo q. R = −∫RdddR R2ik( R ) mi− yo q. R
Lo que implica:
∫RdddR R2ik( R ) = −∂2∂q2i∫RdddRK _ ( R ) mi− yo q. R|q= 0= −∂2∂q2ik~( q)|q= 0
Ahora, si asume que el acoplamiento también es isotrópico, es decir
∃ K : K( R ) ≡ K ( | R | )
, la transformada de Fourier de
k
se convertirá en una función de una sola variable, lo que significa que la tercera integral es solo
−k~"( 0 )
.
En resumen,
I
es:
I≈ ϕ ( r )k~( 0 ) - 12∑yo = 1d∂2iϕ ( r )k~"( 0 )
Así, el término de interacción en la acción es:
SI=∫Rdddr ϕ( r ) yo =∫Rdddr ϕ( r ) ( ϕ( r ) k~( 0 ) - 12∑yo = 1d∂2iϕ ( r )k~"( 0 ) )
=k~( 0 )∫Rdddr ϕ2( r ) -k~"( 0 )2∑yo = 1d∫Rdddr ϕ( r ) ∂2iϕ ( r )
Integrar por partes en el segundo término da como resultado (los términos de frontera desaparecen porque
ϕ ( r ) → 0
como
| r | →∞
para que las integrales converjan):
SI=k~( 0 )∫Rdddr ϕ2( R ) +k~"( 0 )2∑yo = 1d∫Rdddr ∂iϕ ( r ) ∂iϕ ( r )
=k~( 0 )∫Rdddr ϕ2( R ) +k~"( 0 )2∫Rdddr ∑yo = 1d(∂iϕ ( r ))2
=∫Rdddr ( k~( 0 )ϕ2( R ) +k~"( 0 )2 ( ∂ϕ ( r ))2)
Conectar esto en la acción completa finalmente da:
S[ ϕ ] =∫Rdddr ( k~"( 0 )8 ( ∂ϕ ( r ))2+ (k~( 0 )4−12)ϕ2( R ) +112ϕ4( r ) )
Observe que el coeficiente del término cuadrático puede cambiar de signo con la temperatura (a través de
k~
), que es un signo de una
transición de fase .
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miguel parís