Anisotropía de longitud de correlación en el modelo 2D Ising

Question

Anisotropía de longitud de correlación en el modelo 2D Ising

Física
modelo-ising
modelo de celosía
funciones de correlación
mecánica estadística

gec

En el modelo de Ising, la función de correlación de dos espines es

C (\vec{r}) = ⟨ σ_{{\vec{r}}_{0} + \vec{r}} σ_{{\vec{r}}_{0}} ⟩ - ⟨ σ_{{\vec{r}}_{0} + \vec{r}} ⟩ ⟨ σ_{{\vec{r}}_{0}} ⟩ .

$C(\vec{r}) = \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\sigma_{\vec{r}_0}\rangle - \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\rangle \langle \sigma_{\vec{r}_0} \rangle.$ Esta cantidad no depende de

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ debido a la invariancia traslacional. Cuando

r = | \vec{r} |

$r = |\vec{r}|$ es grande en comparación con el espaciado de la red, esperamos la siguiente forma aproximada

C (\vec{r}) \sim Exp (- r / ξ),

$C(\vec{r}) \sim \exp(-r/\xi),$ dónde

ξ

$\xi$ es la longitud de correlación.

Las diferentes direcciones en la red no son equivalentes. Por ejemplo, en el modelo de Ising en la red cuadrada, hay dos direcciones, digamos vertical y horizontal, a lo largo de las cuales interactúan los espines vecinos. No veo razones para pensar que otras direcciones son equivalentes a estas dos. En el modelo de Ising anisotrópico, las direcciones vertical y horizontal tampoco son equivalentes.

Entonces la longitud de correlación $\xi$ debe depender de la dirección de $\vec{r}$ . ¿Se conoce la forma analítica de esta dependencia al menos para la red cuadrada? El modelo de Ising es probablemente el modelo de física estadística más estudiado, pero no pude encontrar las fórmulas correspondientes. Así que cualquier referencia sería apreciada.

PD Sé que en el límite de escala el modelo de Ising se vuelve isotrópico. La pregunta anterior es para sistemas lo suficientemente lejos del punto crítico.

Respuestas (2)

Anisotropía de longitud de correlación en el modelo 2D Ising

yvan velenik · Answer 1

La longitud de correlación del modelo 2d Ising se ha calculado explícitamente. Puedes encontrar la expresión en el famoso libro de McCoy y Wu . Aquí hay una gráfica de la longitud de la correlación inversa (es decir, $1/\xi$ ) a varias temperaturas, tomado de este reciente artículo de revisión :

Esto es solo para mostrar la dependencia direccional, ya que la escala radial no es la misma para todas las imágenes. La temperatura disminuye de izquierda a derecha (puede ver la isotropía que aparece cerca de la temperatura crítica) de cerca de $\infty$ acercándose a la temperatura crítica. Por debajo de la temperatura crítica, el comportamiento es exactamente el mismo, ya que la autodualidad del modelo implica que, para cualquier $T<T_c$ , $\xi(T) = \xi(T^*)/2$ donde la temperatura dual $T^*=T^*(T)$ satisface $T^*>T_c$ .

¡Muchas gracias! ¿Se resuelve este problema para el modelo de Ising anisotrópico en la red triangular?
@Gec: Stephenson tuvo una serie de artículos en la década de 1960 y principios de la de 1970 sobre las correlaciones del modelo de Ising en la red triangular. El cuarto de la serie podría cubrir lo que desea: Correlaciones de espín del modelo Ising en la red triangular. IV. Celosías ferromagnéticas y antiferromagnéticas anisotrópicas , J. Stephenson, Journal of Mathematical Physics 11, 420 (1970).
(Nota: no he leído los artículos de Stephenson, por lo que podría estar equivocado. En cualquier caso, ver qué artículos más recientes los citan podría llevarlo a lo que necesita...)
Conocí los documentos de Stephenson pero no los estudié a fondo. Gracias de nuevo. Mi pregunta se originó a partir de lo que encontré: una ecuación diferencial para la longitud de correlación en función del ángulo en el caso de la llamada solución de desorden , descubierta por Stephenson. Ahora tengo curiosidad acerca de la posibilidad de escribir tal ecuación en el caso general.

ryan thorngren · Answer 2

Podrías estudiar este problema cerca del punto fijo (las dos imágenes correctas en la respuesta de Yvan) buscando el operador más relevante con la carga de simetría correcta.

Por ejemplo, para una red rectangular estaríamos buscando operadores de giro 2, un giro de red triangular 3 y un giro de red cuadrada 4.

Debido a que estas deformaciones de espín más altas en el modelo de Ising provienen de operadores descendientes, uno espera alrededor de un orden de $(T-T_c)$ separación en las anisotropías entre cada caso.

Sin embargo, no sé cómo explicar otras características interesantes, como por qué la longitud de correlación tiene una cúspide a bajas temperaturas. ¡Eso es muy bonito!

Solo tienes una cúspide en el límite $T\to 0$ o $T\to\infty$ (en realidad, las longitudes de correlación de alta y baja temperatura son proporcionales gracias a la autodualidad). A temperaturas positivas y finitas, se sabe rigurosamente que la longitud de la correlación es analítica en la dirección (en cualquier dimensión, en realidad). A temperaturas muy altas y muy bajas, puede comprender el comportamiento de la longitud de correlación utilizando técnicas perturbativas (p. ej., expansión de grupos).

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