Solución fermiónica de 2D Ising

Estoy tratando de entender la discusión en este libro sobre la fermionización del modelo 2D Ising. La matriz de transferencia para este modelo se convierte en$T = \theta\tilde{\theta}$dónde:

$$\theta = e^{\beta \sum_{x}\sigma_{x}^{(1)}\sigma_{x+1}^{(1)}} \quad \mbox{and} \quad \tilde{\theta} = e^{\tilde{\beta}\sum_{x}\sigma_{x}^{(3)}}$$ dónde$\sigma^{(i)}_{x}$son matrices de Pauli en cada$x$: $$\sigma^{(1)} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \mbox{and} \quad \sigma^{(3)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Luego, se realiza el siguiente cambio de variables: $$\Gamma_{-\frac{1}{2},0} := \sigma_{0}^{(1)} \quad \Gamma_{x-\frac{1}{2},x} := \bigg{(}\prod_{0}^{x-1}\sigma_{x'}^{(3)}\bigg{)}\sigma_{x}^{(1)} \quad (x\ge 1)$$ y: $$\Gamma_{0,\frac{1}{2}} := \sigma_{0}^{(2)} \quad \mbox{and} \quad \Gamma_{x,x+\frac{1}{2}} :=\bigg{(}\prod_{0}^{x-1}\sigma_{x'}^{(3)}\bigg{)}\sigma_{x}^{(2)} \quad (x\ge 1)$$ Después de algunas manipulaciones, obtenemos: $$\theta(\beta) = e^{-i\beta \sum_{x}\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}}\Gamma_{x+\frac{1}{2},x+1}} \quad \mbox{and} \quad \tilde{\theta}(\beta) = e^{-i\tilde{\beta}\sum_{x}\Gamma_{x-\frac{1}{2},x}\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}}}$$ Finalmente, un cambio más de variables.$\Gamma_{x-\frac{1}{2},x} = a_{x}+a^{\dagger}_{x}$y$\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}} = i(a_{x}-a^{\dagger}_{x})$lleva a: $$\begin{eqnarray}\tilde{\theta}(\beta) = e^{\tilde{\beta}\sum_{x}(a^{\dagger}_{x}a_{x}-a_{x}a^{\dagger}_{x})} = \prod_{x}(e^{-\tilde{\beta}}+2\sin\tilde{\beta}a^{\dagger}_{x}a_{x})\tag{1}\label{1}\end{eqnarray}$$

Luego, el autor afirma:

En consecuencia, usando el mismo símbolo, el núcleo integral correspondiente es:

$$\begin{eqnarray}\tilde{\theta}(\tilde{\beta},\tilde{\xi},\xi) = \prod_{x}(e^{-\tilde{\beta}}+2\sin\tilde{\beta}\tilde{\xi}_{x}\xi_{x})e^{\tilde{\xi}_{x}\xi_{x}}\tag{2}\label{2}\end{eqnarray}$$

Pregunta: ¿Qué se hace para pasar de ($\ref{1}$) a ($\ref{2}$)? No sigo el razonamiento.