Como referencia, estoy tratando de resolver la derivación en este documento , en el que la función de partición para un modelo de Ising se aproxima reemplazando las variables de Ising$\sigma_i$con$N$Vectores de componentes$\mathbf{s}_i$sujeto a la condición de que$\left| \mathbf{s}_i\right|^2 = N$, y tomando el límite$N \rightarrow \infty$(Por qué esto produce resultados precisos es un misterio por lo que puedo decir, si alguien tiene una idea de esto, lo agradecería enormemente). Resumo las matemáticas relevantes a continuación:

Configuración

El hamiltoniano es

$$H = -\frac{J}{2}\sum_{ij} V_{ij} \sigma_i \sigma_j$$ dónde$V_{ij}$es una matriz de adyacencia ($V_{ij} = 1$si$i$y$j$son los vecinos más cercanos y 0 en caso contrario) y$J$es la fuerza de interacción, y la$\sigma_i = \pm 1$. La función de partición lee

$$Z = \sum_{\left\{\sigma_i = \pm 1\right\}} \exp\left(-\frac{\beta J}{2} \sum_{ij} V_{ij} \sigma_i \sigma_j\right) \tag{3}$$

También podemos definir variables continuas$s_i$y definir la función de partición como

$$Z = \int \prod_j \left(ds_j \, \delta(\left|s_j\right|^2 - 1)\right) \exp\left(-\frac{\beta J}{2} \sum_{ij} V_{ij} s_i s_j\right) \tag{4}$$

Ahora definimos un nuevo$O(N)$modelo donde el$s_i$son$N$vectores componentes con norma$\left|\mathbf{s}_i\right|^2 = N$. La función de partición es

$$Z_N = \int \prod_j \left(d\mathbf{s}_j \, \delta(\left|\mathbf{s}_j\right|^2 - N)\right) \exp\left(-\frac{\beta J}{2} \sum_{ij} V_{ij} \mathbf{s}_i\cdot \mathbf{s}_j\right)\tag{6}$$

Claramente$Z_1 \equiv Z$. Implementamos la función delta introduciendo un campo de restricción en cada sitio,$\mu_i$, usando

$$\delta(x) = \int_{-\infty}^{\infty} d\mu\, e^{i\mu x}$$

escribir

$$Z_N = \int \prod_j d\mathbf{s}_j d\mu_j \exp\left(-\frac{1}{2}\sum_j i\mu_j\left(\left|\mathbf{s}_j\right|^2 - N)\right)\right) \exp\left(-\frac{\beta J}{2} \sum_{ij} V_{ij} \mathbf{s}_i\cdot \mathbf{s}_j\right)\tag{6b}$$

El factor$1/2$nos dará un factor global irrelevante de 2 que ignoro (ya que$\delta(ax) = \delta(x)/\left|a\right|$). Escriba la medida de integración como$\mathcal{D}\mathbf{s} \mathcal{D}\mu$por simplicidad. Aquí es donde el documento se salta algunos pasos.

Mi intento de completar la derivación.

Aquí está mi intento de continuar: reescribe esto como

$$Z_N = \int\mathcal{D}\mathbf{s} \mathcal{D}\mu \exp\left(\frac{N}{2}\sum_j i\mu_j\right) \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \left( \delta_{ij} (i\mu_j)\left|\mathbf{s_j}\right|^2 + \beta J V_{ij} \mathbf{s}_i\cdot \mathbf{s}_j\right)\right)$$

$$Z_N = \int \mathcal{D}\mu \exp\left(\frac{N}{2}\sum_j i\mu_j\right) \int\mathcal{D}\mathbf{s}\,\exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \left( \delta_{ij} (i\mu_j)+ \beta J V_{ij}\right) \mathbf{s}_i\cdot \mathbf{s}_j\right)$$

Definir la matriz$\mu_{ij} = \delta_{ij} \mu_j$. Dejar$s_i^a$ser el$a$'th componente de$\mathbf{s}_i$. Entonces escribimos esto como

$$Z_N = \int \mathcal{D}\mu \exp\left(\frac{N}{2}\mathrm{Tr}[i\mu]\right) \int\mathcal{D}\mathbf{s}\,\exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{a=1}^N\sum_{ij} s_i^a\left( i\mu+ \beta J V\right)_{ij} s_j^a\right)$$

Dejar$M_{ij} = (i\mu + \beta J V)_{ij}$, y escribe$d\mathbf{s}_i = \prod_{a=1}^N ds_i^a$, entonces nosotros tenemos

$$Z_N = \int \mathcal{D}\mu \exp\left(\frac{N}{2}\mathrm{Tr}[i\mu]\right) \prod_{a=1}^N\int \prod_{j}ds_j^a\,\exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} s_i^aM_{ij} s_j^a\right)$$

Mi pregunta

Podemos realizar el$N$integrales gaussianas multivariadas idénticas, pero no veo cómo esto nos llevará a la ecuación 7 en el documento:

$$Z_N = \int \mathcal{D}\mu \exp\left(-\frac{N}{2}\Big(-\mathrm{Tr}[i\mu] + \mathrm{Tr[log}(M)]\Big)\right) \tag{7}$$

Pregunta complementaria

También me gustaría entender con más precisión cómo obtenemos la condición del punto de silla,

$$M^{-1}_{ii} = 1 \qquad (\text{no sum over }i),\tag{8}$$ que viene de encontrar el máximo del exponente, algo así como $$\frac{d}{d(i\mu_j)}\Big(-\mathrm{Tr}[i\mu] + \mathrm{Tr[log}(i\mu + \beta J V)]\Big) = 0$$ pero, ¿cómo hacemos esto con más rigor si estamos tratando con el logaritmo de una matriz? ¿Y por qué esperamos$\mu$ser puramente imaginario?