Teoría del campo medio: enfoque variacional versus autoconsistencia

Tengo una pregunta general sobre los enfoques de campo medio aplicados a la mecánica estadística cuántica o clásica.

¿La determinación del campo medio mediante un enfoque variacional implica siempre que se satisface la autoconsistencia? Además, ¿hay algunos casos en los que esté físicamente justificado buscar puntos de silla y en los que un enfoque variacional sea engañoso (digamos que la energía no está limitada desde abajo con respecto a los parámetros de campo medio, por ejemplo)?

Por ejemplo, considere el caso simple del modelo de Ising ferromagnético. Allí, se introduce la magnetización ($m$) como el parámetro de campo medio con$m=\left<s_i^z\right>$donde el valor esperado se toma con respecto al hamiltoniano de campo medio que depende de$m$(y$s_i^z$es la variable de espín$s_i^z=\pm 1$). En este caso particular, cuando uno encuentra una solución para$m=\left<s_i^z\right>$, esto es equivalente a encontrar un extremo para la energía o la energía libre. Por lo tanto, mi pregunta es simple: en lugar de resolver la autoconsistencia, ¿se puede buscar el mínimo de energía global (o energía libre) con respecto a los parámetros del campo medio (y este enfoque siempre tiene sentido físicamente)? Aquí doy el ejemplo del modelo de Ising, pero mi pregunta también se aplica a cualquier modelo (modelos fermiónicos, bosónicos, de espín, etc.).

Estoy más o menos buscando contraejemplos aquí, si los hay.