Expansión de la función de partición exacta de Onsager para el modelo de Ising 2D

Question

Expansión de la función de partición exacta de Onsager para el modelo de Ising 2D

Física
modelo-ising
función de partición
mecánica estadística
deberes-y-ejercicios

Enrique

Tenemos una pregunta en la que se nos da la expresión exacta para la función de partición del modelo 2D Ising :

\frac{1}{norte} en Z = en (2 {aporrear}^{2} (β j))

$\frac{1}{N}\ln Z ~=~ \ln(2 \cosh^2(\beta J))$

+ \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \frac{d q_{1}}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{d q_{2}}{2 π} en ((1 + X^{2})^{2} - 2 X (1 - X^{2}) (porque (q_{1}) + porque (q_{2})),

$+ \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dq_1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dq_2}{2\pi} \ln \left( (1+x^2)^2 - 2x(1-x^2)(\cos(q_1) + \cos(q_2)\right),$

dónde $x=\tanh(\beta J)$ . En las primeras partes de la pregunta mostramos que el argumento en el logaritmo es no negativo, y que hay un punto crítico en $q_1 = q_2 = 0$ y $x=\sqrt{2}-1$ donde el argumento es cero. Luego se nos pide: "Expandir el logaritmo sobre ambos $q_1=q_2=0$ y este valor crítico de x y evaluar la integral resultante para extraer el comportamiento singular principal de $\ln Z$ (y por lo tanto la energía libre) cerca de la transición. ¿Cuál es la naturaleza de la singularidad en la capacidad calorífica?

Ahora no estoy muy seguro de cómo expandir esto. Claramente, una expansión de Taylor multivariante estándar no será de ninguna utilidad aquí como $\ln(0)$ va a $-\infty$ . Pensé que tal vez solo hacer la expansión con $q_1$ y $q_2$ y luego evalúe la integral para comenzar, pero realmente no sé qué hacer a partir de ahí. ¿Cómo se hace generalmente para expandirse alrededor de una singularidad en una función? ¡Cualquier sugerencia en la dirección correcta sería muy apreciada!

Meng Cheng

El argumento parece singular no significa que la integral no exista. De hecho, dado que estás haciendo una integral 2D con respecto a

q_{1}

$q_1$ y

q_{2}

$q_2$ , al integrar alrededor del origen

q_{1} = q_{2} = 0

$q_1=q_2=0$ es mejor usar la coordenada polar: aproximada

\cos q_{1} + \cos q_{2} \approx 2 - \frac{q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}{2}

$\cos q_1+\cos q_2\approx 2-\frac{q_1^2+q_2^2}{2}$ , y hay un factor adicional de

q

$q$ de la medida de integración. Entonces la integral de

q \ln (polynomial of q)

$q\ln(\text{polynomial of q})$ siempre está bien definido cerca

q = 0

$q=0$ .

picadura como la cerveza

Trate de evaluar la integral con arbitraria

x

$x$ , y después de expandirse cerca

x = \sqrt{2} - 1

$x=\sqrt 2 -1$ .

Enrique

Ok, parece una buena manera de comenzar (aunque la integración es sobre una región cuadrada, por lo que los límites son difíciles de acertar en coordenadas polares. Quizás esto no sea importante, así que volví a escribir como

\int_{0}^{π} q \ln (A (x) + B (x) q^{2})

$\int_0^{\pi} q \ln(A(x) + B(x)q^2)$ que puedo evaluar (aunque Mathematica dice que solo es válido cuando A es estrictamente mayor que cero y A es cero en el punto crítico.

A (x) = ((x - x_{c 1}) (x - x_{c 2}))^{2}

$A(x) = ((x-x_{c1})(x-x_{c2}))^2$ y

B = x (1 - x^{2})

$B=x(1-x^2)$ . Pero cuando diferencio esto para obtener la capacidad calorífica y la gráfica, no parece haber una singularidad.

josesilverman

@ user12244 ¿hay algo más que esté buscando en una respuesta a esta pregunta?

josesilverman

@Henry, ¿hay algo más que esté buscando en una respuesta a esta pregunta?

Respuestas (1)

Expansión de la función de partición exacta de Onsager para el modelo de Ising 2D

El argumento parece singular no significa que la integral no exista. De hecho, dado que estás haciendo una integral 2D con respecto a $q_1$ y $q_2$ , al integrar alrededor del origen $q_1=q_2=0$ es mejor usar la coordenada polar: aproximada $\cos q_1+\cos q_2\approx 2-\frac{q_1^2+q_2^2}{2}$ , y hay un factor adicional de $q$ de la medida de integración. Entonces la integral de $q\ln(\text{polynomial of q})$ siempre está bien definido cerca $q=0$ .
Trate de evaluar la integral con arbitraria $x$ , y después de expandirse cerca $x=\sqrt 2 -1$ .
Ok, parece una buena manera de comenzar (aunque la integración es sobre una región cuadrada, por lo que los límites son difíciles de acertar en coordenadas polares. Quizás esto no sea importante, así que volví a escribir como $\int_0^{\pi} q \ln(A(x) + B(x)q^2)$ que puedo evaluar (aunque Mathematica dice que solo es válido cuando A es estrictamente mayor que cero y A es cero en el punto crítico. $A(x) = ((x-x_{c1})(x-x_{c2}))^2$ y $B=x(1-x^2)$ . Pero cuando diferencio esto para obtener la capacidad calorífica y la gráfica, no parece haber una singularidad.
@ user12244 ¿hay algo más que esté buscando en una respuesta a esta pregunta?
@Henry, ¿hay algo más que esté buscando en una respuesta a esta pregunta?

josesilverman · Answer 1

Si ampliamos el argumento de $\ln$ en $q_1, q_2$ alrededor $\left(q_1,q_2\right)=\left(0,0\right)$ y establecer $q_1,q_2$ a cero, encontramos

(1 + X^{2})^{2} - 2 X (1 - X^{2}) 2 = (1 + X^{2})^{2} - 4 X (1 - X^{2}) = (X^{2} + 2 X - 1)^{2}

$(1+x^2)^2-2x(1-x^2)2=(1+x^2)^2-4x(1-x^2)=(x^2+2x-1)^2$ que obviamente se minimiza en la raíz de

x^{2} + 2 x - 1

$x^2+2x-1$ , donación

x_{c} = \sqrt{2} - 1

$x_c = \sqrt{2}-1$ .

Debido a que el modelo se toma en el $N\rightarrow\infty$ límite, la integral para $F/N$ estará dominado por el barrio de $x_c$ .

Ampliemos ahora el argumento con respecto a $x$ acerca de $x_c$ , es decir, $x\rightarrow x_c + \epsilon$ . Los rendimientos de expansión

8 ϵ^{2} + 4 \sqrt{2} ϵ^{3} + ϵ^{4}

$8\epsilon^2+4\sqrt{2}\epsilon^3 + \epsilon^4$ que cortaremos a la orden

ϵ^{2}

$\epsilon^2$ desde

ϵ

$\epsilon$ se toma por pequeño.

Por lo tanto, una vez que volvemos a poner los términos distintos de cero $q_1,q_2$ , el argumento se convierte en

8 ϵ^{2} - k (q_{1}^{2} + q_{2}^{2})

$8\epsilon^2 - k\left(q_1^2+q_2^2\right)$ dónde

k

$k$ es una constante resultante de la expansión de

2 x (1 - x^{2})

$2x(1-x^2)$ (el multiplicador en los términos del coseno). A partir de aquí voy a reescalar las cosas para que no haya constantes sin sentido frente a nuestros argumentos.

Ahora tienen

F / norte \sim \int d q_{1} d q_{2} en (ϵ^{2} - q_{1}^{2} + q_{2}^{2})

$F/N \sim \int dq_1dq_2 \ln\left(\epsilon^2 - q_1^2+q_2^2\right)$

Cambia a coordenadas polares para que $q_1^2+q_2^2 \rightarrow r^2$ y $dq_1dq_2\rightarrow rdrd\theta$ rendimientos

\int en (ϵ^{2} - r^{2}) r d r d θ = 2 π \int en (ϵ^{2} - r^{2}) r d r

$\int \ln\left(\epsilon^2 - r^2\right)rdrd\theta = 2\pi\int \ln\left(\epsilon^2 - r^2\right)rdr$

Esta integral es algo menos abrumadora que la original (¡definitivamente puede evaluarla en Mathematica!) y da

F / norte = ϵ^{2} en ϵ - en (1 - ϵ^{2}) + en (ϵ^{2} - 1)

$F/N = \epsilon^2\ln\epsilon - \ln\left(1-\epsilon^2\right)+\ln\left(\epsilon^2-1\right)$

Al tomar la segunda derivada ( $C\sim N^{-1}\frac{\partial^2F}{\partial\epsilon^2}$ ) encontramos que el término singular proviene de $\epsilon^2\ln \epsilon$ que al diferenciar rendimientos

ϵ^{2} en ϵ \overset{\partial / \partial ϵ}{\to} ϵ en ϵ + ϵ \overset{\partial / \partial ϵ}{\to} en ϵ + constantes \approx en ϵ = en (X - X_{C})

$\epsilon^2 \ln \epsilon \stackrel{\partial/\partial\epsilon}{\rightarrow} \epsilon\ln\epsilon + \epsilon \stackrel{\partial/\partial\epsilon}{\rightarrow} \ln\epsilon + \textrm{constants} \approx \ln \epsilon = \ln \left(x-x_c\right)$

que muestra que el calor específico diverge logarítmicamente cerca $x_c$

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Enrique

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