Ceros de Lee-Yang, cómo definir la actividad

Estoy estudiando el teorema de Lee-Yang siguiendo el Volumen I, Sección 3.2 del Itzykson and Drouffefamoso libro.

Al hacerlo, me he topado con un dilema que, aunque a primera vista es casi insignificante, plantea algunos problemas reales al llevar a cabo límites críticos posteriormente.

Consideran un modelo de Ising en forma arbitraria$N$gráfico de sitios, con$L$el número total de enlaces. Habiendo definido lo siguiente

$$\rho_i = e^{-2 h_i} \qquad\qquad \tau=e^{-2\beta}$$ inmediatamente escriben la función de partición como $$Z_N = \frac{1}{2^N}\,\exp{\{\beta L + \sum_i h_i \}}\,P(\tau,\{\rho_i\})$$ con $$P(\tau,\{\rho_i\})=\sum_{\sigma_i = \pm 1} \exp{\left\lbrace \beta\sum_{<ij>}(\sigma_i\sigma_j - 1) + \sum_i h_i (\sigma_i - 1) \right\rbrace}$$ y la suma $\sum\limits_{<ij>}$se ejecuta en todos los enlaces.

Entonces, aunque no escriben esto ellos mismos, supongo que es bastante obvio que están considerando un sistema descrito por un hamiltoniano casi del siguiente tipo ( lea EDIT 1 ):

$$H = -\frac{1}{2}\sum_{<ij>}\sigma_i \sigma_j - \sum_i h_i \sigma_i$$ Ahora, lo que no entiendo es la falta de $\beta$en los términos del campo externo del polinomio y el prefactor del polinomio interno $Z_N$.

De hecho, haciendo el cálculo yo mismo con el hamiltoniano de arriba, termino con algo como esto

$$Z'_N = \frac{1}{2^N}\,\exp{\{\beta L + \beta\sum_i h_i \}}\,P'(\tau,\{\rho_i\})$$ con $$P'(\tau,\{\rho_i\})=\sum_{\sigma_i = \pm 1} \exp{\left\lbrace \beta\sum_{<ij>}(\sigma_i\sigma_j - 1) + \beta\sum_i h_i (\sigma_i - 1) \right\rbrace}$$

Si bien todavía no entiendo la falta de$\beta$en el libro, uno puede encontrar que poco o nada cambia (por muchos cálculos que realizan) redefiniendo

$$\rho_i = e^{-2\beta h_i}$$ y, de hecho, por lo que puedo leer en línea, esta es la definición habitual de fugacidad o actividad (el teorema LY establece que todos los ceros de la función de partición son uno en el círculo unitario del plano complejo de actividad).

Pero, por ejemplo, surge un problema al calcular los límites críticos del polinomio. Cuando$T\rightarrow\infty$($\beta\rightarrow 0$,$\tau\rightarrow 1$), el libro afirma que$P = P(1,\rho) = (1+\rho)^N$(uno cero, con$N$multiplicidad) con$\rho=e^{-2h}$(habiendo considerado, por simplicidad, un campo externo uniforme). De hecho, uno puede verificar

$$\lim_{\beta\to 0} P(\tau,\{ \rho \}) = \sum_{\sigma_i = \pm 1} \exp{\left\lbrace h\sum_i (\sigma_i^N - 1)\right\rbrace} = \prod_i^N \sum_{\sigma_i = \pm 1} \exp{\left\lbrace h (\sigma_i - 1)\right\rbrace} = (1+\rho)^N$$

Pero el resultado cambia si se considera el polinomio$P'$en lugar de$P$.

¿Qué estoy haciendo mal? ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

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EDITAR 1

Si este Santo Grial de un manual no presenta errores, el hamiltoniano real que los autores están considerando tiene la siguiente forma:

$$H = -\frac{1}{2}\sum_{<ij>}\sigma_i \sigma_j - \frac{1}{\beta}\sum_i h_i \sigma_i$$ Pero, ¿por qué y, más importante aún, cómo se debe definir tal hamiltoniano? ¿No es incorrecto por motivos dimensionales?

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EDITAR 2

De hecho, unas páginas más arriba, afirman

Pero de nuevo, ¿cómo es eso correcto? Para omitir arbitrariamente una variable relevante ($\beta$) sólo a partir de un término de toda la fórmula, variable que luego es crucial en los límites críticos antes mencionados$T\rightarrow\infty$y$T\rightarrow 0$!

¡Estoy seguro de que me debo estar perdiendo algo, pero realmente no puedo entender qué!