¿Qué sucede con la energía libre del modelo ising bidimensional con vórtices?

Question

¿Qué sucede con la energía libre del modelo ising bidimensional con vórtices?

Física
modelo-ising
modelo de celosía
materia Condensada
Grassmann-números
mecánica estadística

Stackexchange_usuario23

El modelo clásico 2d Ising tiene un hamiltoniano de la forma:

H = - \sum_{metro, norte = 0}^{METRO, norte} j_{1} X_{metro, norte} X_{metro + 1, norte} + j_{2} X_{metro, norte} X_{metro, norte + 1}

$\begin{equation} H = -\sum_{m,n = 0}^{M,N} J_1 x_{m,n}x_{m+1,n} + J_2 x_{m,n}x_{m,n+1} \end{equation}$

La función de partición para el modelo se puede escribir como la suma de todas las configuraciones de los giros $x_{ij}$ veces el factor de Boltzman. Hasta una constante multiplicativa general, podemos reescribir esto como:

Z = \sum_{X_{i j}} \prod_{metro} (1 + t_{1} X_{metro norte} X_{metro + 1, norte}) (1 + t_{2} X_{metro norte} X_{metro, norte + 1})

$\begin{equation} Z = \sum_{x_{ij}}\prod_m (1+t_1 x_{mn} x_{m+1,n})(1+t_2 x_{mn} x_{m,n+1}) \end{equation}$

Entonces podemos realizar la suma por cualquier medio que queramos. Mi favorito actual es siguiendo esta referencia: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01017042?LI=true , o consulte http://link.springer.com/article/10.1007/BF02896231 . Reescriben la suma de la partición como una integral sobre las variables de Grassmann. El cálculo es técnico en los puntos pero, según tengo entendido, esencialmente suman todos los bucles en el plano con pesos de Boltzmann apropiados mediante una elección conveniente de integral. Esto se puede ver expandiendo la exponencial y reconociendo que los únicos términos que quedan después de realizar la integración serán bucles que describen paredes de dominio.

Realizan con éxito la integración en una red finita con la topología de un toro y obtienen la energía libre. Cuando tenga más tiempo detallaré algunos de estos cálculos. Pero, por ahora tengo una pregunta: ¿Qué pasa si queremos considerar vórtices en el sistema?

Una forma de introducir dos vórtices en el modelo es exigir que un número finito de filas vecinas satisfagan condiciones de contorno diferentes de todas las demás.

Otra puede ser considerar el sistema hamiltoniano en un cilindro y especificar condiciones de contorno antiperiódicas en la mitad inferior y periódicas en la mitad superior.

En particular, me interesaría saber qué sucede con la energía libre en relación con el caso de que no haya vórtices en el límite termodinámico (esta puede ser la única parte tratable del problema).

yvan velenik

No estoy seguro de cómo llamas vórtices en el contexto del modelo de Ising (por supuesto, puedes tenerlos en sistemas de espín continuo). Lo que puedes hacer (y tal vez lo que quieres decir) es forzar la presencia de interfaces en el sistema. Forzar la presencia de un número finito de ellos no afectará la densidad de energía libre (limitante).

Stackexchange_usuario23

@YvanVelenik Debería haber sido más claro, por vórtice me refiero a una cadena de acoplamientos negativos arrastrados desde infinito y que terminan en algún punto. Entonces, cualquier bucle de Wilson que contenga este punto será negativo, mientras que todos los demás serán positivos. Creo que la energía libre debería cambiar al orden 1/N, ¿estás de acuerdo?

yvan velenik

Sí, estoy de acuerdo, afectará la densidad de energía libre de volumen finito por un término de orden

1 / N

$1/N$ (es decir, la energía asociada a las líneas defectuosas, de orden

N

$N$ , dividido por el volumen total, de orden

N^{2}

$N^2$ ).

Respuestas (1)

¿Qué sucede con la energía libre del modelo ising bidimensional con vórtices?

No estoy seguro de cómo llamas vórtices en el contexto del modelo de Ising (por supuesto, puedes tenerlos en sistemas de espín continuo). Lo que puedes hacer (y tal vez lo que quieres decir) es forzar la presencia de interfaces en el sistema. Forzar la presencia de un número finito de ellos no afectará la densidad de energía libre (limitante).
@YvanVelenik Debería haber sido más claro, por vórtice me refiero a una cadena de acoplamientos negativos arrastrados desde infinito y que terminan en algún punto. Entonces, cualquier bucle de Wilson que contenga este punto será negativo, mientras que todos los demás serán positivos. Creo que la energía libre debería cambiar al orden 1/N, ¿estás de acuerdo?
Sí, estoy de acuerdo, afectará la densidad de energía libre de volumen finito por un término de orden $1/N$ (es decir, la energía asociada a las líneas defectuosas, de orden $N$ , dividido por el volumen total, de orden $N^2$ ).

yvan velenik · Answer 1

Permítanme escribir el argumento (trivial), ya que es demasiado largo para comentarios.

Consideremos el modelo de Ising en un conjunto finito $\Lambda$ con una condición de contorno arbitraria, pero fija. De hecho, consideramos dos versiones del modelo:

El modelo ferromagnético estándar, con hamiltoniano $H_{Λ} (σ) = - j \sum_{(i, j) \cap Λ \neq \emptyset} σ_{i} σ_{j},$ $H_\Lambda (\sigma) = -J\sum_{(i,j)\cap\Lambda\neq\emptyset} \sigma_i\sigma_j \,,$ donde la primera suma es sobre todos los pares de vecinos más cercanos, al menos uno de los cuales pertenece a $\Lambda$ .
Un modelo en el que se ha cambiado el signo de las constantes de acoplamiento por un conjunto $\mathcal{E}$ de vecinos más cercanos, es decir, con hamiltoniano $\begin{aligned} H_{Λ}^{mi} (σ) & = - j \sum_{\begin{matrix} (i, j) \cap Λ \neq \emptyset \\ (i, j) \notin mi \end{matrix}} σ_{i} σ_{j} + j \sum_{\begin{matrix} (i, j) \cap Λ \neq \emptyset \\ (i, j) \in mi \end{matrix}} σ_{i} σ_{j} \\ = H_{Λ} (σ) + 2 j \sum_{\begin{matrix} (i, j) \cap Λ \neq \emptyset \\ (i, j) \in mi \end{matrix}} σ_{i} σ_{j} . \end{aligned}$ $\begin{align} H_\Lambda^\mathcal{E} (\sigma) &= -J\sum_{\substack{(i,j)\cap\Lambda\neq\emptyset\\(i,j)\not\in\mathcal{E}}} \sigma_i\sigma_j +J\sum_{\substack{(i,j)\cap\Lambda\neq\emptyset\\(i,j)\in\mathcal{E}}} \sigma_i\sigma_j\\ &= H_\Lambda(\sigma) + 2 J\sum_{\substack{(i,j)\cap\Lambda\neq\emptyset\\(i,j)\in\mathcal{E}}} \sigma_i\sigma_j \,. \end{align}$

Inmediatamente deducimos que, para cualquier configuración $\sigma$ ,

| H_{Λ} (σ) - H_{Λ}^{mi} (σ) | \leq 2 j | mi |,

$|H_\Lambda(\sigma) - H_\Lambda^\mathcal{E} (\sigma)| \leq 2 J |\mathcal{E}|\,,$ dónde

| E | = # {(i, j) \cap Λ \neq \emptyset : (i, j) \in E}

$|\mathcal{E}| = \#\{(i,j)\cap\Lambda\neq\emptyset\,:\, (i,j)\in\mathcal{E}\}$ es el número de pares de vecinos afectados en

Λ

$\Lambda$ . En consecuencia, denotando por

Z_{Λ}

$Z_\Lambda$ y

Z_{Λ}^{E}

$Z_\Lambda^{\mathcal{E}}$ las funciones de partición correspondientes,

Z_{Λ} {mi}^{- 2 β j | mi |} \leq Z_{Λ}^{mi} \leq Z_{Λ} {mi}^{+ 2 β j | mi |},

$Z_\Lambda e^{-2\beta J |\mathcal{E}|} \leq Z_\Lambda^{\mathcal{E}} \leq Z_\Lambda e^{+2\beta J |\mathcal{E}|}\,,$ y por lo tanto,

| \frac{1}{β | Λ |} registro Z_{Λ} - \frac{1}{β | Λ |} registro Z_{Λ}^{mi} | \leq 2 j \frac{| mi |}{| Λ |},

$\bigl| \frac1{\beta|\Lambda|}\log Z_\Lambda - \frac1{\beta|\Lambda|}\log Z_\Lambda^{\mathcal{E}} \bigr| \leq 2J\frac{|\mathcal{E}|}{|\mathcal{\Lambda}|}\,,$ dónde

| Λ |

$|\Lambda|$ es el número de vértices en

Λ

$\Lambda$ .

En tu caso, $|\Lambda| = N^2$ (digamos, para una caja cuadrada de lado $N$ ) y $|\mathcal{E}| \leq CN$ para alguna constante fija $C$ (si introduce un número finito de defectos). Por lo tanto, el cambio en la densidad de energía libre de volumen finito es, como mucho, del orden $1/N$ . Probar que efectivamente es de este orden (y no mucho más pequeño) es más difícil (y sólo cierto a bajas temperaturas).

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