Intensidad del campo gravitacional dentro de una esfera hueca

Es bastante fácil derivar la intensidad del campo gravitatorio en un punto dentro de una esfera hueca. Sin embargo, el resultado es bastante sorprendente. La intensidad de campo en cualquier punto dentro de una esfera hueca es cero.

¿Cuál es exactamente la razón detrás de esto? Excepto, por supuesto, las matemáticas detrás de esto. ¿Hay alguna lógica por la cual la intensidad del campo debería ser cero dentro de una esfera? Por ejemplo, es lógico decir que la intensidad del campo sería cero en el centro, ya que todas las intensidades se anulan. Sin embargo, este no puede ser el caso para ningún punto dentro de la esfera.

@Qmechanic un poco difícil de entender ...
Me gusta la respuesta de Qmechanic, pero mi propia intuición es la siguiente: supongamos que el caparazón consta de muchas "lunas" pequeñas que cubren el caparazón. Podrías estar cerca de uno y sentir su gravedad, y los que están "al otro lado" del camino tienen una gravedad que cae en d 2 , pero el número de ellos aumenta con d 2 , por lo que son tan poderosos como el que está al lado.

Respuestas (2)

Una forma intuitiva que he visto de pensar en las matemáticas es que si estás en cualquier posición dentro de la capa esférica hueca, puedes imaginar dos conos cuyas puntas están en tu posición, y ambos se encuentran a lo largo del mismo eje, ensanchándose en sentido opuesto. dirección. Imagine también que ambos subtienden el mismo ángulo sólido , pero el ángulo sólido se elige para que sea infinitesimal. Luego puedes considerar los pequeños trozos de materia donde cada cono se cruza con la cáscara, como en el diagrama de esta página :

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Aún necesita hacer un poco de matemáticas geométricas , pero puede demostrar que el área de cada bit rojo es proporcional al cuadrado de la distancia desde usted (el punto azul) hasta él, y por lo tanto, la masa de cada bit también es proporcional al cuadrado de la distancia, ya que suponemos que la capa tiene densidad uniforme. Pero la gravedad obedece a una ley del cuadrado inverso, por lo que cada uno de esos dos bits debe ejercer la misma atracción gravitatoria sobre ti, pero en direcciones opuestas, lo que significa que los dos bits ejercen una fuerza neta cero sobre ti. Y puedes variar el eje a lo largo del cual se dibujan los dos conos para que cada punto en la superficie del cascarón termine siendo parte de un par como este, lo que lleva a la conclusión de que el cascarón esférico completo ejerce una fuerza neta cero sobre ti.

Esta "prueba intuitiva" se debe a Newton .
Tenga en cuenta que esta prueba solo funciona porque los ángulos entre la "línea de visión" y la superficie normal para cada uno de los parches son los mismos; por lo que ambos parches están "acortados" por el mismo factor de porque ⁡ θ . De lo contrario, podría presentar este argumento para el interior de cualquier superficie cerrada con una densidad de carga uniforme.
La gravedad es más fuerte cuanto más cerca estás de la masa, por lo que el ejemplo anterior no tiene sentido. No importa dónde se encuentre en la esfera (con la excepción del epicentro), está más cerca de un punto de pared, y esa masa lo atraería en mayor medida que el resto (suponiendo una superficie perfectamente simétrica).
No importa. Acabo de ver otra publicación que indica que aunque la gravedad tiene una atracción más fuerte hacia la ubicación más cercana, la masa combinada y sus distancias calculadas la cancelan exactamente, dejando una atracción gravitatoria neta de 0 desde la esfera misma. Alucinante.
@mkinson: sí, si elige ángulos sólidos uniformes en ambos lados, entonces el trozo que está más lejos también es más grande, lo que cancela su mayor distancia para producir el mismo tirón gravitatorio neto que el trozo que está más cerca pero más pequeño en tamaño. De eso estaba hablando cuando dije "el área de cada bit rojo es proporcional al cuadrado de la distancia desde usted (el punto azul) hasta él, y por lo tanto, la masa de cada bit también es proporcional al cuadrado de la distancia, ya que asumimos que la capa tiene una densidad uniforme".

Una parte del problema es primero hacer la pregunta correcta. Si hace referencia a un punto dentro de un toro esférico (el perímetro se compone de masa), los efectos de la gravedad sobre una masa (punto) ubicada en algún lugar dentro de la esfera variarán. Mientras trates solo con un punto, ese será el caso.

Sin embargo, si trata con una esfera sólida, en lugar de un "punto" dentro de la esfera, debe tratar con una región concéntrica dentro de la esfera. No importa cómo defina esa región concéntrica, siempre que el centro resida en el centro de la esfera principal, la atracción neta de la gravedad hacia el perímetro exterior sigue siendo una fuerza neta de cero.

Eso tiene sentido considerando que en cualquier punto si cortas la esfera lateralmente desde donde estás cayendo, habrá una mayor masa "debajo" que "arriba" y, por lo tanto, serás empujado hacia abajo hasta que golpees el epicentro, donde no importa cómo cortas la esfera, todas las direcciones contendrán la misma masa.
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