Una prueba matemática de que el campo eléctrico alrededor de un cilindro con carga infinita es simétrico

La prueba matemática conceptualmente más simple que conozco usa la integral de la ley de Coulomb sobre la distribución de carga. Esto requiere cierto conocimiento de integrales y matrices multidimensionales. No es la prueba más condensada, pero creo que es completa y requiere las matemáticas menos avanzadas.

Si tiene alguna distribución de carga$\rho(\vec{x})$entonces el campo electrico es

$$\vec{E}(\vec{x}) = \int \, d^3 \vec{x}' \, \rho(x') \frac{\vec{x}-\vec{x'}}{|\vec{x}-\vec{x'}|^3}$$

Ahora suponga que la distribución de carga tiene alguna simetría que es una rotación o una reflexión o una traslación. Eso significa que hay una matriz.$R$y vectores$\vec{b}$que actúa sobre$\vec{x}$tal que$\rho(R\vec{x}+\vec{b}) = \rho(\vec{x})$. Entonces podemos usar la integral para calcular el campo vectorial en un punto transformado:

$$\vec{E}(R\vec{x}+\vec{b}) = \int \, d^3 \vec{x}' \, \rho(x') \frac{R\vec{x}+\vec{b}-\vec{x'}}{|R\vec{x}+\vec{b}-\vec{x'}|^3}$$

Podemos cambiar la variable de integración a$\vec{x}' = R\vec{y}+\vec{b}$. Entonces

$$\vec{E}(R\vec{x}) = \int \, d^3 [Ry+b] \, \rho(Ry+\vec{b}) \frac{R(\vec{x}-\vec{y})}{|R(\vec{x}-y)|^3}$$

La distribución de carga es simétrica bajo$R$entonces$\rho(Ry+b) = \rho(y)$. Ya usé el hecho de que las rotaciones y los reflejos son lineales en la línea de arriba, y que la traslación se cancela con la diferencia de vectores. Una reflexión o rotación no cambia la longitud de los vectores, por lo que$|R(\vec{x}-\vec{y})| = |\vec{x}-\vec{y}|$. ya que es una transformacion lineal$d^3 [Ry+b] = |\det(R)| d^3 y$. Poniendo todas esas relaciones y simplificando obtenemos que

$$\vec{E}(R\vec{x}+\vec{b}) = |\det{R}|\cdot R \int \, d^3y \, \rho(y) \frac{\vec{x}-\vec{y}}{|\vec{x}-y|^3}$$ $$\vec{E}(R\vec{x}+\vec{b}) = |\det{R}|\cdot (R\vec{E}(\vec{x}))$$

Entonces, si la distribución de carga es simétrica bajo una rotación o reflexión, también lo es el campo eléctrico en el sentido capturado por la ecuación anterior. Tanto las rotaciones como las reflexiones tienen$|\det R| = 1$.

La ecuación anterior se aplica a cualquier distribución de carga con cualquier conjunto de simetrías de rotación/reflexión/traslación. El resto de la prueba usa las simetrías del caso específico para restringir la forma del campo eléctrico.

El cilindro uniforme infinito tiene cuatro simetrías: traslación a lo largo de z, reflexión en z, reflexión en x (o y) y rotación alrededor de z. Podemos pasar por cada simetría para restringir aún más la forma posible del campo eléctrico.

Traducción: Usando$\vec{b} = (0,0,z)$obtenemos$\vec{E}(x,y,z) = \vec{E}(x,y,0)$, por lo que toda la dependencia z de$\vec{E}$está determinada sólo por la$z=0$avión.

Reflexión en z: Usando$R = diag(1,1,-1)$obtenemos$E_z(x,y,0) = -E_z(x,y,0) \Rightarrow E_z(x,y,0) = 0$, por lo que el campo eléctrico tiene componente z cero en todas partes.

Rotación alrededor de z: aquí ayuda usar coordenadas cilíndricas porque no se intercambian bajo la rotación. Usando$R$como la matriz para la rotación por$\phi$alrededor del eje z obtenemos$E_{r,\phi}(r,\phi,z) = E_{r,\phi}(r,0,0)$, entonces el campo eléctrico en cualquier punto con radio cilíndrico$r$es por el campo eléctrico en el punto$(r,0,0)$.

Reflexión en y: En el punto$(r,0,0)$un reflejo que envía el eje y$(r,0,0)$a$(r,0,0)$. voltea el$\phi$componente del campo eléctrico pero no el$r$componente, por lo que$E_\phi (r,0,0) = -E_\phi(r,0,0)\Rightarrow E_\phi (r,0,0) = 0$.

El único componente restante que no ha sido determinado por las cuatro simetrías es$E_r(r,0,0)$. Entonces podemos usar esta función y las simetrías para encontrar el campo eléctrico en cualquier otro punto. En última instancia, hemos determinado que el campo eléctrico apunta radialmente sin$\phi$componente (reflexión en y), no$z$componente (reflexión y traslación en z), y es rotacionalmente simétrico (rotación alrededor de z).

En general, no es cierto que el campo eléctrico para esta densidad de carga tenga simetría cilíndrica. Si calcula un campo para esta distribución de carga y cumple la ley de Gauss, siempre puede, por ejemplo, agregarle un campo uniforme. Existen teoremas de unicidad y existencia para la electrostática, pero requieren condiciones de contorno.

Como un ejemplo más simple, suponga que está usando la ley de Gauss para encontrar el campo de una carga puntual. El campo de Coulomb habitual es una solución, y ese campo tiene la misma simetría esférica que la distribución de carga. Pero también puede agregar cualquier solución homogénea, como un campo uniforme. Sin embargo, si impone una condición límite que$E\rightarrow0$en el infinito, entonces tienes una solución única a través de uno de los teoremas estándar de existencia/unicidad para la ecuación de Poisson. Si estaba buscando una solución y no conocía el campo de Coulomb, sería razonable buscar una solución que tuviera simetría esférica. Uno se preguntaría si eso iba a tener éxito. Lo intentarías, y lo haría. Luego, al imponer las condiciones de contorno, obtendría unicidad.

Volviendo al caso del campo del cilindro, me imagino que la solución es única si impones$E\rightarrow0$a una distancia infinita del cilindro. Sin embargo, no conozco ningún teorema de existencia y unicidad que se aplique a este tipo de condición de frontera.

Traté de probar por mí mismo que dos puntos que se encuentran en un anillo alrededor del cilindro tienen un campo con la misma magnitud mediante la integración de la ley de Coulomb,

No existe un principio físico que diga que un campo electrostático es el mismo que el resultado dado al integrar la ley de Coulomb. Un contraejemplo es el que tengo arriba, en el que agregamos un campo uniforme a una solución no homogénea.

Suponga que está mirando el cilindro que está orientado horizontalmente y suponga por el bien del argumento que el campo eléctrico apunta hacia abajo y hacia la derecha en lugar de normal a la superficie. Imagine adjuntar una varilla al cilindro que muestra la dirección del campo eléctrico.

Ahora imagina pararte de cabeza y ¿qué ves? El cilindro es exactamente igual que antes y debería tener el mismo campo eléctrico, pero la varilla de antes ahora apunta hacia arriba y hacia la izquierda. Esa contradicción implica que el campo no puede apuntar hacia abajo y hacia la derecha. Ese tipo de razonamiento te lleva al hecho de que el campo solo puede apuntar normal a la superficie.