La fuerza más general que puede cumplir la primera parte del teorema de la cáscara de Newton (cualquier cuerpo con simetría esférica afecta a los cuerpos externos como si su masa estuviera concentrada en su centro) es una fuerza inversa al cuadrado , un oscilador armónico o la suma de ambos tipos de fuerzas .
Curiosamente, estos dos tipos de fuerzas (cuadrado inverso y oscilador armónico) también son los únicos dos tipos de fuerzas que cumplen el teorema de Bertrand :
Entre los potenciales de fuerza central con órbitas ligadas, solo hay dos tipos de potenciales de fuerza central con la propiedad de que todas las órbitas ligadas también son órbitas cerradas, el potencial de fuerza del inverso del cuadrado y el potencial del oscilador armónico.
Ambos teoremas parecen tratar problemas completamente diferentes (órbitas cerradas versus el efecto de cuerpos esféricos en cuerpos externos). Pero debido a que la solución a ambos problemas son el mismo tipo de fuerzas, me pregunto si podría haber una conexión más profunda entre estos dos teoremas. ¿Cuál podría ser la conexión entre el teorema de Shell de Newton y el teorema de Bertrand?
TL; DR: Es una coincidencia.
En primer lugar, las leyes de potencia no coinciden para dimensiones espaciales:
Por un lado, el teorema de Bertrand se limita a un plano de órbita 2D (debido a la conservación del momento angular) y no depende de la dimensión espacial ambiental. .
Por otro lado, el teorema de la capa de Newton está ligado a la ley de Gauss . Las superficies de Gauss son hipersuperficies de dimensión .
En segundo lugar, aunque nos limitemos a dimensiones espaciales, las soluciones son diferentes:
Por un lado, el teorema de Bertrand solo funciona para un la ley de fuerza y la ley de Hooke por separado, pero no para combinaciones lineales no triviales de las mismas.
Por otro lado, el teorema de la capa de Newton inverso también funciona para combinaciones lineales de los mismos.
En tercer lugar, las demostraciones conocidas del teorema de Bertrand son más largas y el requisito de órbitas cerradas conduce a una condición de racionalidad, que no tiene equivalente en el teorema de la capa de Newton inverso.
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