Campo eléctrico en la superficie de una esfera cargada

(Otro) La respuesta de Rob me parece buena, pero déjame ofrecerte otra forma de pensar.

A medida que te acercas mucho a la superficie de la esfera, el campo eléctrico debe parecerse cada vez más al campo eléctrico de un plano infinito de carga.

Si verifica la ley de Gauss (recordando que el campo en el conductor es cero) verá que si la densidad de carga superficial es$\sigma=Q/4\pi R^2$, entonces de hecho el campo en la superficie es$\sigma/\epsilon_0$como en el caso de la carga infinita del plano.

Tal campo es constante, las líneas de campo son paralelas y no divergentes, y no surgen los infinitos asociados con el campo debido a la carga puntual.

Para una distribución de carga$\rho({\bf r'})$, el campo eléctrico en${\bf r}$es

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ dónde ${\bf R}={\bf r}-{\bf r'}$.

Creo que el reclamo del OP está en posiciones donde$\rho \ne 0$, la integral anterior es infinita porque el integrando explota en${\bf R}={\bf 0}$.

Creo que el OP primero debería preguntarse si está haciendo una pregunta de matemáticas o de física.

Si está haciendo una pregunta de matemáticas, creo que su pregunta es similar a si

$$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$ es indefinido (o infinito según su argumento), o es igual a $2$.

En mi opinión, estrictamente hablando, la integral anterior no está definida, porque el integrando no está definido en$x=0$.

Sin embargo, desde

$$\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_\epsilon^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2$$ normalmente solo decimos $$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2$$

Entonces, en mi opinión, cuando escribimos

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ en realidad estamos diciendo $${\bf E}({\bf r})=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}k\iiint_{D_{\epsilon}}\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ dónde $D_\epsilon$es el espacio menos una bola con radio $\epsilon$centrado en ${\bf r}$.

Se puede demostrar que si$\rho({\bf r})$es finito o no tiende al infinito$\textit{too fast}$, entonces el límite existe.

Si acepta eso, entonces la pregunta de física que uno debería hacerse es si esto da la respuesta correcta en física.

En la EM clásica, la$\textit{macroscopic}$campo${\bf E}$es de hecho el promedio de los$\textit{microscopic}$campo${\bf e}$. (Landau y Lifshitz,$\textit{Electrodynamics of Continuous Media}$, pág. 1.)

Entonces puedes considerar${\bf E}({\bf r})$como el promedio de${\bf e}$sobre una bola con radio$\epsilon$centrado en${\bf r}$.

Ahora bien, se puede argumentar que

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint_{D_{\epsilon}}\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ como sigue.

Se puede demostrar que (1) el campo promedio sobre la pelota debido a las cargas fuera de la pelota es el mismo que el campo total debido a todas las cargas fuera de la pelota en el centro de la pelota. , y (2) el campo promedio sobre la pelota debido a las cargas dentro de la pelota es

$$-k\frac{{\bf p}}{\epsilon^3}$$ dónde ${\bf p}$es el momento dipolar total dentro de la pelota. (Griffith, $\textit{Introduction to Electrodynamics}$, pag. 156-157, problema 3.41).

Así que cuando$\epsilon$es pequeño macroscópicamente,${\bf p}\rightarrow{\bf 0}$.

Parece estar confundido sobre el concepto de límite, que normalmente se trata en los cursos de cálculo. Si tiene, no una carga puntual, sino un volumen de carga con cierta densidad$\rho$, entonces la carga encerrada en una pequeña esfera con radio$r$es

$$dq = \rho\, dV = \rho \cdot \frac{4\pi}3 r^3$$ y el campo eléctrico en la superficie de la esfera será proporcional a $$E \propto \frac{dq}{r^2} \propto \frac{\rho r^3}{r^2} = \rho r.$$ Esta magnitud de campo se comporta bien en el límite que $r$es muy pequeño.

La carga puntual de tamaño cero, la carga superficial de espesor cero, etc. son aproximaciones útiles cuando el tamaño de la distribución de carga es mucho más pequeño que el tamaño de la distribución de campo que le interesa. Las cargas puntuales físicas, las cargas superficiales y las cargas lineales se distribuyen realmente en un volumen finito. Incluso la carga de un solo electrón se distribuye en un volumen finito, gracias a la incertidumbre de la mecánica cuántica en la posición del electrón.

Tu pensamiento es correcto. Al menos, si la esfera está formada por pequeñas cargas puntuales, el campo será infinito a medida que te acerques a ellas.
Hay un punto que te estás perdiendo cuando dices que esto contradice la ley de Gauss: la ley de Gauss solo te da el flujo del campo. Para obtener el campo de la esfera de la forma de un libro de texto, debe usar simetría . Usted argumenta entonces que, dado que una esfera es simétrica, el flujo es simplemente campo por área. Pero esto no es cierto con sus suposiciones. Una esfera que consta de puntos discretos no es esfera, al menos no tiene simetría esférica. La contradicción se ha ido.

Si decimos que el campo es igual a un cierto valor, nos referimos al valor medio . En su razonamiento, apunta exactamente a una carga puntual. Entonces el campo es infinito. Pero si tiene puntos, también debe haber espacios entre ellos, y en esos espacios el campo es menor que el que obtiene con la fórmula habitual. Si dices que los puntos son densos (en el sentido en que lo son los números racionales: entre dos cualesquiera todavía hay uno más), entonces son infinitamente muchos y tienen la carga de cero cada uno.
Usted argumenta que un valor dividido por cero es infinito ... ¡pero cero dividido por cero no lo es ! Puede ser, pero no tiene que ser así. Y en este caso tienes el mismo cero-ness, si los divides obtienes algo finito.

En realidad, los electrones tienen una carga distinta de cero, por supuesto. Pero también hay un número finito de ellos. Así que hay brechas finitas reales.

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Pero tienes razón: las cargas puntuales son algo extraño. No son consistentes con el electromagnetismo clásico. Se podría argumentar que no hay problema en que el potencial se vuelva infinito, simplemente no vayas allí, entonces es finito, se podría decir. Pero en la teoría clásica existe el concepto de densidad de energía del campo. Y la energía de una carga puntual es infinita, si haces el cálculo.
Bueno, esto tampoco sería un problema, siempre que se conserve la cantidad de cargas, al menos. Pero no lo es... Pero lo único que prueba es que el mundo no es clásico.