Duda simple sobre la ley de Gauss

Mis maestros me dijeron que el término$\vec E$en la ecuación anterior es el campo eléctrico total debido a todas las cargas dentro y fuera de la superficie gaussiana .

Si por "campo eléctrico total" su maestro se refiere a la suma vectorial de las contribuciones de los campos eléctricos en el área de superficie diferencial dA debido a las contribuciones de cargas tanto dentro como fuera de la superficie gaussiana, entonces eso es correcto.

El segundo término de la ecuación anterior es esencialmente el flujo eléctrico de cargas situadas fuera de la superficie gaussiana que es igual a 0

Eso es correcto porque si observa las líneas de campo eléctrico asociadas con cargas fuera de la superficie gaussiana, encontrará que cada línea de línea de campo que cruza una superficie y entra en el volumen encerrado por la superficie sale del volumen en alguna otra superficie, para una red flujo de cero debido a cargas externas.

Entonces, a partir de este resultado, podemos notar que el campo eléctrico que obtenemos usando la ley de Gauss es solo el campo de las cargas dentro de la superficie, lo que está en contradicción con lo que leí en mis libros y también con lo que me enseñó mi maestro. .

No hay contradicción, siempre y cuando su maestro quiso decir lo que dije anteriormente.

Entonces, ¿dónde me equivoco y qué es lo que realmente$\vec E$representa? También ¿Por qué se le da tanto énfasis al hecho de que$\vec E$en la ley de Gauss es el campo electrico total y no solo el campo de carga dentro del cuerpo? Por favor, perdóname si estoy cometiendo un error tonto.

No estoy seguro de por qué habría un énfasis en las contribuciones de campo de carga fuera del cuerpo, a menos que sea para demostrar que incluso si las tiene en cuenta, la evaluación de la integral sobre toda la superficie mostrará que no hay flujo neto debido a las cargas externas, solo debido a las cargas internas.

En cualquier caso, no veo que te hayas equivocado.

entonces el campo que obtendremos después de resolver la integral es el campo debido a las cargas dentro de la superficie gaussiana. Bien ?

No es el campo que obtendremos después de resolver la integral. Es el flujo eléctrico neto, es decir, la integral de$\vec E.d\vec A$sobre toda la superficie. El flujo neto es positivo si el volumen encierra una carga neta positiva y negativo si el volumen encierra una carga neta negativa. Es cero para los campos producidos por carga externa porque el flujo que entra o sale del volumen es igual al flujo que sale o entra al volumen.

Editar: dado que el único flujo que permanece en la integral es el flujo de la carga dentro de la superficie gaussiana y si la superficie es simétrica, entonces podemos tomar la$\vec E$saca y calcula esto$\vec E$encontrando el área después de resolver la integral.

Eso es correcto.

La ley de Gauss se puede utilizar para el cálculo de campos eléctricos cuando se originan a partir de distribuciones de carga de simetría suficiente para aplicarla. En otras palabras, el campo eléctrico$\vec E$sale de la integral. Aquí se pueden encontrar ejemplos de tales aplicaciones (incluida una línea infinita de carga) y el valor resultante del campo eléctrico:

http://hiperfísica.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html

Y dado que sabemos que el flujo neto en la superficie gaussiana es de carga interna , esto sugiere que el campo eléctrico$\vec E$obtendremos después de resolver la integral (suponiendo simetría) es el campo de la carga dentro del cable .

Eso es correcto, siempre que la distribución de carga sea suficientemente simétrica.

Pero esto es lo que dice NCERT... Esto es muy contradictorio.

No veo ninguna contradicción entre lo que dice NCERT y el tratamiento hiperfísico de una línea de carga infinita que se muestra en el enlace. Compare los dos y vea lo que piensa.

Espero que esto ayude.

$\displaystyle \oint \vec E_{\rm inside \; charge}\cdot d\vec a + \oint \vec E_{\rm outside \; charge}\cdot d\vec a =\dfrac{q_{\rm enclosed}}{\epsilon_o}$

Así que tienes que hacer dos integraciones.
La primera integración es la que suele citarse y la segunda suele omitirse porque es cero.

Sin hacer integraciones reales, piense en la integral como "contando" las líneas de campo que pasan a través de la superficie gaussiana con las líneas que salen del volumen cerrado contando como positivas y las líneas que entran en el volumen cerrado como negativas.
Una línea de campo producida por una carga dentro de la superficie gaussiana solo pasará a través de la superficie una vez con cargas positivas produciendo una contribución positiva a la primera integral mientras que las cargas negativas produciendo una contribución negativa.
De esto obtendrás la idea de que$q_{\rm enclosed}$es la carga neta dentro de la superficie gaussiana.

Ahora considere una carga que está fuera de la superficie gaussiana.
Las líneas de campo de dichas cargas atravesarán la Gaussiana dos veces, ya sea entrando y saliendo del volumen cerrado o viceversa.
Entonces, en términos de contar líneas de campo a través de la superficie gaussiana, cada campo tendrá una contribución neta cero a la segunda integral.

Dado que el único flujo que permanece en la integral es el flujo de la carga dentro de la superficie gaussiana y si la superficie es simétrica, entonces podemos sacar el 𝐸⃗ y calcular este 𝐸⃗ encontrando el área después de resolver la integral.

Esto no es cierto en general. En el ejemplo de un cable cargado infinitamente largo, la superficie gaussiana correcta a usar es un cilindro que es coaxial con el cable, como dijiste. Sin embargo, si solo considera el campo$\vec E_{in}$generada por la carga encerrada por esta superficie gaussiana, no tendrá simetría cilíndrica.

La ley de Gauss se seguirá aplicando, por supuesto. En principio, podría calcular el flujo total a través del cilindro gaussiano considerando solo las cargas en el interior. Sin embargo, dado que el campo debido a las cargas varía tanto en magnitud como en dirección sobre la superficie del cilindro, no hay suficiente simetría para que este enfoque sea útil para calcular qué$\vec E_{in}$en realidad está en cualquier punto específico.

Más concretamente, nuestro objetivo aquí no es encontrar$\vec E_{in}$sino más bien encontrar el campo total$\vec E_{tot}$debido a las cargas a lo largo de todo el cable, no solo dentro del cilindro gaussiano.$\vec E_{tot}$ tiene simetría cilíndrica, por lo que podemos usar la ley de Gauss para calcularla sin hacer integrales difíciles.

Y como sabemos que el flujo neto en la superficie gaussiana es de la carga interna, esto sugiere que el campo eléctrico 𝐸⃗ que obtendremos después de resolver la integral (suponiendo simetría) es el campo de la carga interna del cable.

Esto tampoco es cierto. Si una carga se encuentra fuera de su superficie gaussiana, entonces es cierto que el campo que genera no contribuye al flujo neto a través de su superficie. Sin embargo, ciertamente contribuye al campo eléctrico total en cada punto; es solo que cuando integra sus contribuciones al flujo total en toda la superficie, contribuye con un flujo positivo en algunas áreas y un flujo negativo en otras, de modo que en general suma cero.

El flujo externo total $\iint \color{green}{\vec E_{out}} \cdot d\vec A = 0$, pero eso no significa que$\color{green}{\vec E_{out}}$no contribuye al campo total$\color{purple}{\vec E_{tot}}$en cada punto Desde$\color{purple}{\vec E_{tot}}$es lo que tiene la simetría cilíndrica, es el campo que podemos sacar de la integral y resolver usando la ley de Gauss.

En otras palabras, es cierto que$\iint \color{red}{\vec E_{in}}\cdot d\vec A = q_{in}/\epsilon_0$ y es cierto que$\iint \color{purple}{\vec E_{tot}} \cdot d\vec A = q_{in}/\epsilon_0$, pero es solo en el último caso que tenemos suficiente simetría para resolver el campo. La primera ecuación sigue siendo verdadera, pero no es muy útil para lo que intentamos hacer aquí.

Dado que las otras respuestas han aclarado sus dudas sobre preguntas anteriores, intentaré abordar el problema sobre el cable infinitamente largo. La suposición de que el cable es infinitamente largo asegura que el campo eléctrico del cable depende únicamente de la distancia radial, es decir$\vec{E}(r,\theta,\phi)=E(r)\vec{r}.$Empleando tal simetría y usando una superficie cilíndrica gaussiana de radio$a$y altura$l$, obtendremos$2\pi a\cdot l\cdot E=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$. Como puede ver, el parámetro$l$se cancela en ambos lados por lo que no tiene efecto en el cálculo del campo debido a todo el cable. Eso significa que cada superficie gaussiana cilíndrica de altura finita es suficiente para determinar el campo eléctrico debido a todo el cable. Sin embargo, si el cable tiene una longitud finita , entonces su campo eléctrico ya no exhibe tal simetría.

El campo$\vec{E}$que aparece en la ley de Gauss es el campo total, sin embargo a veces puedes simplificar situaciones usando el principio de superposición. Esto se aclara con 2 ejemplos:

Ejemplo 1 - Dos cargas puntuales

Obviamente, en este caso queremos poder simplemente sumar los campos eléctricos de Coulomb de las dos cargas. ¿Cómo hacemos eso con la ley de Gauss? Bueno, la forma más fácil es claramente usar la superposición y primero calcular el campo.$\vec{E}_1$eso estaría ahí si solo cobrara$1$estaban allí, y luego el campo$\vec{E}_2$si solo carga$E_2$estaban allí.

Esta opción es más fácil porque el campo total tiene baja simetría pero las contribuciones individuales tienen alta simetría, lo que nos permite calcularlas usando la ley de Gauss.

Ejemplo 2: una línea de carga infinita

Ahora la situación es al revés: si desea encontrar el campo total calculándolo para muchos segmentos finitos de cable y luego sumándolos, encontrará que un cable de longitud finita tiene un campo eléctrico de forma muy extraña y la ley de Gauss. no sirve de mucho

Afortunadamente no necesitamos superposición ya que el campo total$\vec{E}$tiene alta simetría. En particular, siempre debe apuntar radialmente hacia afuera del cable; no puede tener un componente a lo largo del cable porque ¿en qué dirección a lo largo del cable apuntaría este componente? Este argumento falla para el alambre finito porque (a menos que esté exactamente en el centro) este componente a lo largo del alambre puede apuntar al extremo más cercano.

(Aparte: por supuesto, puede usar la superposición si divide la línea en infinitas cargas puntuales, luego use la fórmula de Coulomb para cada una de ellas. El punto es que esto requiere más esfuerzo).

Resumen

En los casos en que la ley de Gauss es útil, tiende a ser porque el total$\vec{E}$es altamente simétrica. Sin embargo, la elección de la superficie gaussiana normalmente solo encierra una fracción de la carga total, y esa carga produciría un campo eléctrico de baja simetría. Por lo tanto, mientras que la superposición hace que ambas versiones de la ley de Gauss en forma integral sean correctas, la que propone el OP no parece muy útil.