Potencial gravitacional en el centro de una esfera uniforme

Question

Potencial gravitacional en el centro de una esfera uniforme

Estera Fy

Feynman en la segunda conferencia de Messenger dijo que el potencial en el centro de la pelota con un radio pequeño $a$ es igual al potencial promedio en la superficie de la bola menos $G$ veces la masa dentro de la pelota dividida por $2a$ . Puedes verlo en la imagen. no entiendo eso Tuve la idea de que es de la serie Taylor de potencial en el centro, pero no puedo entenderlo. ¿Me puedes ayudar?

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usuario4552

¡Bienvenido a física.SE! ¿Conoces el teorema de la capa y sabes cómo demostrar que el campo dentro de una esfera uniforme es

g = g_{0} r / a

$g=g_0r/a$ , dónde

g_{0}

$g_0$ ¿Está el campo en la superficie?

Estera Fy

Conozco el teorema de la cáscara. En segundo lugar, tal vez lo obtenga sustituyendo m = V.density y V = 4/3 pi r ^ 3. ¿Qué quieres decir?

Estera Fy

¿Puedes explicarme la segunda cosa? Gracias por su comentario.

Respuestas (2)

Potencial gravitacional en el centro de una esfera uniforme

¡Bienvenido a física.SE! ¿Conoces el teorema de la capa y sabes cómo demostrar que el campo dentro de una esfera uniforme es $g=g_0r/a$ , dónde $g_0$ ¿Está el campo en la superficie?
Conozco el teorema de la cáscara. En segundo lugar, tal vez lo obtenga sustituyendo m = V.density y V = 4/3 pi r ^ 3. ¿Qué quieres decir?
¿Puedes explicarme la segunda cosa? Gracias por su comentario.

Albertrichard · Answer 1

Respuesta tardía pero morderé.

Feynman está hablando de una pelota, lo que significa que está hablando de una esfera sólida, con densidad uniforme, que llamaré $\rho$ . Puede aplicar la ley de Gauss para la gravedad para luego calcular el potencial.

La ley de Gauss establece que:

\int F d A = - 4 π GRAMO METRO

$\int FdA = -4\pi GM$

donde F es el campo g, A es un área superficial y M es la masa encerrada por nuestra superficie gaussiana.

Digamos que nuestra bola tiene radio $a$ . Podemos imaginar una esfera gaussiana, de radio $r < a$ que encierra alguna masa $\rho V$ donde V es el volumen de nuestra esfera gaussiana (aquí podemos usar la multiplicación en lugar de la integración porque es una esfera uniforme). Llame a A el área de Gauss y por simetría, $\int FdA = FA$ , de modo que podemos escribir, para nuestra esfera gaussiana:

F = \frac{- 4 π GRAMO ρ V}{A}

$F = \frac {-4πG\rho V}{A}$

Para nuestra esfera gaussiana, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y $A = 4\pi r^2$ de modo que:

\frac{V}{A} = \frac{r}{3}

$\frac VA = \frac r3$

llevando a:

F = \frac{- 4 π GRAMO ρ r}{3}

$F = \frac{-4πG\rho r}{3}$

Esto nos dice el campo en cualquier punto de la esfera. Reemplazar r con a nos dice el campo en la superficie de la esfera.

De todos modos, queremos el potencial en la superficie de la esfera, que es el trabajo negativo realizado por unidad de masa cuando se mueve desde el centro de la esfera a su superficie, es decir, desde $r=0$ a $r=a$ (suponiendo que nuestro punto de referencia se establece en el centro de la esfera, de modo que el centro tiene energía potencial cero). Esto es lo mismo que la integral del campo a lo largo de esta distancia, ya que el campo es la fuerza por unidad de masa. Por tanto, el potencial en la superficie de la esfera es:

\int_{0}^{a} F d r = \int_{0}^{a} \frac{4 π GRAMO ρ r d r}{3}

$\int_0^a Fdr =\int_0^a \frac{4πG\rho r dr}{3}$

cual es:

\frac{4 π GRAMO ρ a^{2}}{6}

$\frac{4πG\rho a^2}{6}$

El volumen de toda la esfera es $V = \frac 43 \pi a^3$ , de modo que $\frac {4\pi a^2}{6} = \frac {V}{2a}$ . Desde $M$ , la masa encerrada por la esfera es $\rho V$ , donde esta vez V es el volumen de toda la esfera:

\frac{4 π GRAMO ρ a^{2}}{6} = \frac{GRAMO ρ V}{2 a} = \frac{GRAMO METRO}{2 a}

$\frac{4πG\rho a^2}{6} = \frac{G\rho V}{2a} = \frac {GM}{2a}$

Entonces, el trabajo realizado al moverse desde el centro hasta la superficie de una pelota está dado por $\frac {GM}{2a}$ , siempre que la pelota sea uniforme. Para obtener la ecuación de Feynman, simplemente cambie el punto de referencia de la energía potencial, de modo que la energía potencial en el centro ya no sea $0$ .

Editar:

El resultado anterior se cumple solo si el campo debido a la materia fuera de la esfera es el mismo en el centro y en la superficie. De lo contrario, el trabajo realizado dependerá de a qué parte de la superficie te muevas, ya que todos los puntos de la superficie no son equidistantes de la materia externa. Si la pelota es lo suficientemente pequeña, un criterio que menciona Feynman, entonces no hay mucha diferencia entre los diferentes puntos en la superficie o en el centro, por lo que puede aproximarse al campo como constante en la pelota.

El trabajo realizado al moverse desde el centro hasta la superficie de una pelota es GM/2a solo si la energía potencial en el centro es cero. Si cambia de campo, entonces la energía potencial y, por lo tanto, el trabajo serán diferentes. Entonces el resultado es solo aproximado.
Ah, sí, Feynman menciona que esto se mantiene solo si la pelota es lo suficientemente pequeña, presumiblemente para que el campo debido a factores externos en la superficie sea el mismo que en el centro. Me olvidé de mencionar eso. Gracias, lo agregaré.

klaus kassner · Answer 2

La respuesta de Feynman no se refiere a una esfera llena de densidad de masa uniforme. Es una declaración completamente general sobre el potencial en el centro de una esfera (lo suficientemente pequeña) dada una distribución de masa arbitraria. Es una forma diferente de enunciar la ley de gravitación de Newton. Se puede derivar de la formulación diferencial de la ley de Newton (ΔΦ = 4πG ρ) con la ayuda de la función de Green de espacio completo G(r,r')=-1/(4 π |rr'|).

Potencial gravitacional en el centro de una esfera uniforme

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