Descuantificar la regla de cuantización de Dirac

No sé de preguntas profundas. Y la gente parece dar respuestas bastante profundas aquí. Mi contribución es mostrar

$$\lim_{\hbar \to \infty} \frac{1}{i\hbar}[ F(p,x) , G(p,x)] = \{F(p,x), G(p,x)\}_{P.B.}$$

donde$[ F, G] = F G - G F$y

$$\{ F(p,x), G(p,x) \} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial G}{\partial p} - \frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial p}.$$

Preliminares.

Con$[x, p] = i \hbar$, puedes mostrar las siguientes dos igualdades:

$$[x, f(p) ] = i \hbar \frac{\partial f}{\partial p}$$

y

$$[p , g(x) ] = - i \hbar \frac{\partial g}{\partial x}.$$

Creo que esto es casi obligatorio para todos los cursos de QM, por lo que omitiré esta derivación. En cualquier caso, la ruta estándar es considerar el conmutador de x con potencias crecientes de p; luego use la inducción al desarrollar$f(p)$como una serie de Taylor.

Un ejemplo más ilustrativo es el siguiente:

$$[x^{2} , f(p) ] = [x ,f(p) ] x + x [x, f(p)] \\ = i \hbar f'(p)\, x + i \hbar x \, f'(p) = 2 i\hbar x f'(p) - i\hbar [x , f'(p)]\\ = 2 i \hbar x f'(p) - (i \hbar)^{2} f''(p)$$

donde he introducido la notación bastante útil$f'(p) = d f /dp$.

Ahora puedes ver que la diversión está en los poderes arbitrarios de$x$. Debería ser más o menos capaz de adivinar el resultado y demostrarlo por inducción.

Lema.

$$[x^{n} , f(p) ] = \sum_{j=1}^{n} (-)^{j+1} \binom{n}{k} \, (i \hbar)^{j} x^{n-j} \, f^{(j)}(p)$$

Prueba: lo haces. Usa la inducción. Debería ser más o menos sencillo. Por cierto,$\binom{n}{k}$denota el coeficiente binomial .

Momento de la verdad.

El argumento anterior se puede utilizar para incluir una función analítica de$x$. Considerar

$$[ g(x) , f(p)] = \Biggl[ \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) x^{k}, \, f(p) \Biggr] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \Biggl[ x^{k}, f(p) \Biggr] \\ = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} g^{(k)} (0) \sum_{j=1}^{k} (-)^{j+1} C^{k}_{j} \, (i \hbar)^{j} x^{k-j} \, f^{(j)}(p) \\ = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, (i \hbar)^{j} g^{(j)}(x) \, f^{(j)}(p).$$

El truco en la cuarta igualdad es cambiar las sumas (y luego expandir$C^{k}_{j}$... todo encaja muy bien).

Es interesante notar que las sumas dobles colapsaron en una sola. Esto de alguna manera tiene sentido por análisis dimensional, las potencias de x y p disminuyen juntas de modo que$\hbar$aparece

La parte final es el punto más sutil. Un general$f(x,p)$es complicado porque$x$y$p$no conmutar Entonces tendría problemas con la "ermiticidad" y el pedido. elegiré cada$p$ser la izquierda de cada$x$. Una vez acordado esto, un general$F(p,x)$Se puede escribir como

$$F(p, x) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \,\, f_{n} (x).$$

Ahora, podemos calcular

$$\Biggl[ F(p,x) , G(p,x) \Biggr] = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \Biggl[ \alpha_{n} (p) \,\,f_{n} (x), \, \beta_{m} (p) \, \, g_{m} (x) \Biggr] \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \biggl[ \, f_{n} (x) , \beta_{m} ( p) \biggr] g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \, \biggl[ \, \alpha_{n} ( p) , g_{m} (x) \biggr] \, f_{n} (x) \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \, \alpha_{n} (p) \, \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j+1} \, (i \hbar)^{j} f^{(j)}_{n} (x) \, \beta^{(j)}_{m} (p) \biggr) \, g_{m} (x) + \beta_{m} (p) \biggl( \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \, (i \hbar)^{j} g^{(j)}_{m}(x) \, \alpha^{(j)}_{n}(p) \biggr) \, f_{n} (x)$$

usando especialmente

$$\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n}^{(j)} (x) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} \biggl( \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_{n} (p) \, f_{n} (x) \biggr) = \frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}} F(p,x)$$

ves que obtienes el resultado deseado (después de cambiar las sumas):

$$\Biggl[ F(p,x), G(p,x) \Biggr] = \sum_{j=1}^{\infty} (-)^{j} \frac{(i \hbar)^{j}}{j!} \Biggl( \frac{\partial^{j} G}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} F}{\partial p^{j}} - \frac{\partial^{j} F}{\partial x^{j}} \frac{\partial^{j} G}{\partial p^{j}} \Biggr)$$

porque ves que el único término que sobrevive después de dividir por (i \hbar) es el primero. Esto le da el soporte de Poisson. No hice ningún cálculo complicado porque son largos. Es más o menos convincente.

Permítanme reorganizar la lógica del Moyal Bracket que @ACuriousMind discutió cuidadosamente, visitando un planeta teórico donde las personas de alguna manera descubrieron la mecánica clásica y la mecánica cuántica de forma independiente ; pero sufrieron un terrible bloqueo mental que les impidió apreciar que había una conexión entre los dos, al principio.

Entonces, un día, su Groenewold observó que, a partir de QM, donde las mayúsculas denotan operadores de QM,$[P,Q]=PQ-QP=-i\hbar,\,$, etc..., y las minúsculas denotan entidades de espacio de fase clásicas, podría tomar cualquier función de operador de P y Q , Φ , y empaquetar todos sus elementos de matriz en la siguiente función generadora de números c,

$$f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty \text{d}y~e^{-2ipy/\hbar}~ \langle q+y| \Phi (Q,P) |q-y \rangle,$$ (lo que reconoceríamos aquí como nuestro mapa de Wigner para el espacio de fases en nuestro planeta), es decir, completamente especificado por la totalidad de sus elementos de matriz, $$\langle x| \Phi |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\over h} ~e^{ip(x-y)/\hbar}~ f\left({x+y\over2},p\right) .$$ Por lo tanto, descubrió que el operador Φ en realidad podría extraerse de la inversión de lo anterior, por lo que es un operador funcional de la función del número c cuántico f (q, p) , que por supuesto también depende de$\hbar$, en general, $$\Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\!\!\! \iint f(q,p) ~e^{i(a(Q-q) +b(P-p))}~ \text{d}q\, \text{d}p\, \text{d}a\, \text{d}b.$$

Observe cómo esta forma expresa Φ(Q,P) , con su complicado y caprichoso ordenamiento de cadenas de Q s y P s, ahora en una forma donde Q s y P son completamente simétricas (siendo la exponencial el desarrollo formal en serie de potencias infinitas de la misma ).

(En nuestro planeta, este mapa inverso se llama el mapa de Weyl, y fue descubierto primero, en un esfuerzo equivocado por comenzar con cantidades clásicas f(q,p) y de alguna manera, ¡mágicamente!, llegar a sus correspondientes cuánticos, que saben acerca de$\hbar$, así que con más información apareciendo de la nada, pero no importa. Aun así, Kubo fue el que apreció este procedimiento de forma automática Weyl ordena operadores arbitrarios, es decir, produce operadores iguales en este orden especial, en general con un aspecto diferente).

Además, este mapa de Wigner mapea los conmutadores del operador espacial de Hilbert$[\Phi,\Gamma]/(i\hbar)$a lo que llamamos el soporte de Moyal,

$$\frac{2}{\hbar} ~ f(x,p)\ \sin \left ( {{\tfrac{\hbar }{2}}(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x}} )\right ) \ g(x,p),$$ donde anota el término principal en la serie de Taylor wrt$\hbar$es solo$\{f,g\}$, el soporte de Poisson. Mapa de trazas espaciales de Hilbert para integrales de espacio de fase.

(Divulgación completa: se puede encontrar una expansión de estos movimientos en nuestro folleto A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space de Curtright, Fairlie y Zachos, WS 2014, cf. actualización en línea , o la mayoría de los otros textos populares sobre el tema). Hasta ahora, absolutamente nada de física o conocimiento: a través de un cambio técnico de lenguaje, QM simple simplemente se reexpresó en el espacio de fase de número c.

Ahora, sin embargo, nuestro Tralfmadorean Groenewold debe haber estado muy complacido, ya que también sabía que esto estaba dentro del alcance de la mecánica clásica, por lo que podía discutir tanto QM como mecánica clásica al mismo tiempo. Luego pudo observar que la mayoría de los sistemas y entidades "grandes", macroscópicos, que involucran grandes números cuánticos y grandes acciones en comparación con$\hbar$, se comportan como funciones clásicas de número c del espacio de fase familiar de la mecánica clásica (corregida por$\hbar$-fuzz, ignorable para muy pequeños$\hbar$), el Moyal Bracket para funciones de variación lenta (en la escala de$\hbar$nuevamente, donde gobiernan la ondulación y la interferencia), recayó en los corchetes de Poisson, etc. Debe haber estado fuera de sí con el límite emergente de la mecánica clásica que encontró.

Entonces, aunque f , g , etc., dependen de$\hbar$, como objetos cuánticos completos, aquellos que tienen un límite no singular como$\hbar\to 0$reducir a cantidades ordenadas de física de ingeniería (laboratorio de primer año) libres de las frustrantes complicaciones de la mecánica cuántica. Dios mío: las variables son efectivamente conmutativas, cuando sacrificas información (cuántica)... ¡De repente, hablar de trayectorias, en general, podría tener sentido! (Pero luego el caos y la entropía asomaron sus feas cabezas. Pero estamos divagando).

Bien, este es el esquema del comportamiento clásico emergente. Varias sutilezas se barren debajo de la alfombra, incluidos los sistemas cuánticos macroscópicos, etc., pero el toque de jengibre conquista la niebla de$\hbar$, y la decoherencia es una amiga.

Los mapas invertibles de arriba, sin embargo, no tienen nada que ver con la cuantización, son meros cambios de variables. Pero lo ayudan a monitorearlo, si desea seguir el camino de Dirac, y de ahí el nombre inapropiado de "cuantización de deformación": finge que comienza con$\hbar$-independiente f s y el PB y "deformarlo inteligentemente" al MB adivinando el$\hbar$-correcciones sobre principios intuitivos de belleza. Pero nunca obtendrás el cuadrado correcto del momento angular de esta manera. La cuantización es un arte, un misterio .

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Edición de conveniencia para conectarse a pedidos antiestándar: @OkThen replica la receta de pedidos antiestándar, que utilizó Kirkwood 1933 , en la ecuación (121) del libro citado anteriormente; No pude resistir el momento de enseñanza. Es, por supuesto, equivalente al mapa de Wigner-Weyl discutido aquí, como señalan @ACuriousMind y @tparker. Todos estos mapas de espacio de Hilbert a espacio de fase son , donde el acuerdo con las entidades clásicas en$O(\hbar^0)$se aplica esencialmente como una condición límite, por lo que la falla de la correspondencia de Dirac sería evidencia de un error, como lo enfatiza @ACuriousMind.

Explícitamente, pegando un factor extra$\exp(i\hbar ab/2)$a la exponencial de la Φ anterior convierte el núcleo del operador anterior en$e^{ib(P-p)} e^{ia(Q-q)}$produciendo un Φ' ligeramente diferente , asignable invertiblemente a Φ , por supuesto. La imagen correspondiente del bracket de Moyal es, tal como se da, un poco menos simétrica,$~f(1-\exp(i\hbar(\overleftarrow{\partial}_x \overrightarrow{\partial}_{p}-\overleftarrow{\partial}_{p}\overrightarrow{\partial }_{x} ))g/i\hbar$, pero por supuesto asignable al MB de forma reversible, por el mismo mapa. Esta fue en realidad la observación de la tesis original de Dirac, que la correspondencia de q con Q yp con P produce automáticamente la condición de contorno discutida, por lo que no podría fallar. Fueron solo los buscadores de esquemas de cuantización de cortadores de galletas posteriores quienes insistieron imprudentemente en aplicar tales mapas a la cuantización, ahora excluidos con seguridad por Groenewold.

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Nota añadida sobre el surgimiento de Bracken : En un notable artículo de 2003 , Bracken observa que el lado opuesto de la relación de cuantificación estándar$MB=\frac{2}{\hbar}\sin (\hbar ~PB /2)=PB + O(\hbar^2)$es$PB=\frac{2}{\hbar}\arcsin (\hbar ~MB /2)=MB + O(\hbar^2)$, por lo que la mecánica clásica emergente es una serie asintótica infinita de$\hbar$correcciones cuánticas al resultado cuántico: la magia aquí es la cancelación completa de todos$\hbar$dependencia, análoga a la interferencia destructiva de las fases cuánticas en la integral funcional que produce el resultado extremo clásico. Es bueno saberlo como una broma formal, pero nunca he visto una utilización tajante en un cálculo no trivial convincente.

La afirmación es verdadera por la definición misma de cuantización, es decir, no hay nada que mostrar. Así que hablemos de la definición de cuantización, que es un mapa de observables clásicos a observables cuánticos.

No hay mapa de cuantización.$f\mapsto \hat{f}$que envía observables clásicos (funciones en el espacio de fase) a observables cuánticos (operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert) que cumple

1. $$\widehat{\{f,g\}} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{f},\hat{g}]\tag{1}$$ para todos los observables clásicos$f,g$.
2. Para todos los polinomios$p$,$\widehat{p(f)} = p(\widehat{f})$para todos los observables clásicos$f$.
3. La representación del álgebra de observables es irreducible.

Esto se conoce como el teorema de no-go de Groenewold-van Hove . Las suposiciones técnicas precisas sobre el mapa de cuantización varían, pero estos son los puntos principales que ingenuamente debería, en la "cuantificación canónica", cumplir, pero no puede.

Para permitir un mapa de cuantización, uno tiene que debilitar una suposición. Una opción es la cuantificación de la deformación donde$(1)$se supone que solo resiste las correcciones cuánticas de orden$\hbar^2$, y la deformación habitual del soporte de Poisson es entonces el soporte de Moyal $\{\{-,-\}\}$, que está de acuerdo con la ingenua receta de cuantificación canónica para los corchetes de las coordenadas$x_i,p_j$como

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat{x}_i,\hat{p}_j] = \widehat{\{x_i,p_j\}} = \widehat{\{\{x_i,p_j\}\}}$$ pero se desvía para polinomios más altos en$x,p$del soporte de Poisson a pedido$\hbar^2$y más alto. Entonces, por definición de cuantización de deformación, tenemos $$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{\{f,g\}\} = \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar^2)$$ donde tomar$\hbar\to 0$en ambos lados claramente cede $$\lim_{\hbar\to 0} \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[f,g] = \{f,g\}.$$

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Si quieres comenzar con un sistema cuántico con relaciones de conmutación canónicas$[x_i, p_j] = \mathrm{i}\hbar\delta_{ij}$"sin haberlo obtenido por cuantización", entonces eso es simplemente imposible; es posible que no lo haya "obtenido" con mi cuantización, pero de todos modos es el mismo que el resultado de la cuantización estándar:

Por el teorema de Stone-von Neumann, todas las representaciones de esta relación de conmutación son unitariamente equivalentes. Entonces siempre podemos obtener la parte del álgebra cuántica de observables generada por$x_i,p_j$como la cuantización de la deformación del sistema clásico correspondiente, y la igualdad entre el conmutador y el soporte de Poisson en el límite clásico es nuevamente inmediata a partir de la definición del procedimiento de cuantización.