Límite clásico de conmutador

El argumento de Dirac está en las páginas 85-86, y dice así:

El corchete de Poisson clásico obedece las siguientes reglas:

$$\{A,B\} = -\{B,A\}$$ $$\{aA + bB ,C\} = a\{ A,C\} + b\{B,C\}$$ $$\{AB,C\} = A\{B,C\} + \{B,C\}A$$ $$\{\{A,B\},C\} = \{B,\{A,C\}\} - \{A,\{B,C\}\}$$

Donde reescribí la identidad de Jacobi de la manera que tiene sentido. Ahora Dirac pregunta si se puede definir tal cosa para los objetos cuánticos que no conmutan, y señala que se puede, si

$$i\hbar [A,B] = (AB - BA)$$

Dónde$\hbar$es un contexto de proporcionalidad, fijado por análisis dimensional, mientras que$i$está ahí para garantizar que el análogo de Poisson Bracket sea hermitiano, como deberían ser los observables por convención (el anticonmutador es antihermitiano).

Deduce esto expandiendo el conmutador:$[AB,CD]$usando las reglas formales anteriores como axiomas, de dos maneras diferentes. A partir de esto, encuentra que

$$[A,C](BD - DB) = (AC-CA)[B,D]$$

En la teoría clásica, esto da$0=0$, pero en QM, los observables no conmutan, por lo que aprende que debe identificar los conmutadores como los análogos cuánticos de los corchetes de Poisson. Luego argumenta que$\hbar$conmuta con todo, y por lo tanto que las relaciones de conmutación deben mantenerse, y de allí deduce que la imagen de Schrödinger está disponible.

El argumento es simplificado y no es históricamente exacto. Para el argumento original de Heisenberg (o algo muy parecido a él), consulte la página Matrix Mechanics de Wikipedia .

En la página 87, Dirac escribe que la relación de conmutación entre dos observables u y v viene dada por

$$uv-vu=i \hbar [u,v]$$ Ahora, vea las Ecs. 8: $$[q_{r},q_{s}] = 0$$ $$[p_{r},p_{s}] = 0$$ $$[q_{r},p_{s}] = \delta _{rs}$$ Para encontrar los conmutadores cuánticos correspondientes a las relaciones anteriores, simplemente los reemplazamos en la primera ecuación, dando las versiones cuánticas: $$q_{r}q_{s} - q_{s}q_{r} = 0$$ $$p_{r}p_{s} - p_{s}p_{r} = 0$$ $$q_{r}p_{s} - p_{s}q_{r} = i \hbar\delta _{rs}$$ Puedes ver esa configuración $\hbar = 0$da 0 para la tercera ecuación: este es el límite clásico, ya que dos observables conmutarán en la física clásica (en la física clásica, los observables no son operadores y no existe un principio de incertidumbre). Así como $\hbar \rightarrow 0$, la mecánica cuántica se reduce a la física clásica.