Intuición física para la cuantificación de la deformación de las variedades de Poisson

En primer lugar, no sé casi nada de física. Estaba leyendo el artículo de Kontsevich sobre la cuantización de la deformación de las variedades de Poisson , sin embargo, no pude entender cuál es la intuición para tal operación.

¿Por qué existe la palabra "cuantización" y la constante de Planck en el producto estrella ? ¿Dónde está la física en tal deformación formal del álgebra? A = C ∞ ( METRO ) ?

De hecho, lo único que puedo entender es la parte de "deformación", ya que (si no me equivoco) parece una deformación de A a lo largo del 2-cociclo { ⋅ , ⋅ } del complejo cochain de Hochschild .

Otra cosa, que nunca entendí: ¿por qué la deformación se hace solo en las secciones globales y no en todo el fajo? C ∞ ?

Tal vez este artículo de Catteneo y Felder pueda ayudar. arxiv.org/abs/math/9902090

Respuestas (1)

La cuantización generalmente significa la asociación de un espacio de Hilbert al espacio de fase clásico (en nuestro caso, una variedad de Poisson). Sin embargo, en la cuantificación de la deformación, esta tarea se logra indirectamente, primero a través de la construcción de una asociación C ∗ álgebra, en este caso el álgebra deformada de funciones equipada con un producto estrella que sirve como el producto asociativo de la C ∗ álgebra. Esta álgebra depende de un parámetro formal ℏ . Una vez que un asociativo C ∗ se construye el álgebra, una representación espacial de Hilbert se puede construir en principio por C ∗ técnicas algebraicas como la construcción GNS. Consulte, por ejemplo, el siguiente artículo de Stefan Waldmann.

La motivación de la cuantificación de la deformación es que en muchos modelos físicos, la serie de Taylor con respecto a la constante de Planck ℏ da una cuantificación de deformación viable. El prototipo de un producto estrella explícitamente conocido cuya serie Taylor en ℏ define una cuantización de deformación es el producto de Moyal en R 2 norte . Además, existe el producto estrella de Gutt en los duales de álgebras de Lie, consulte el siguiente artículo de Monvel . También están los productos estrella Wick y Anti-Wick y sus generalizaciones en la cuantización Berezin de las variedades de Kähler. Por favor, vea por ejemplo este artículo de Bordemann, Brischle, Emmrich, Waldmann. Otra construcción conocida de origen geométrico es el producto estrella de Fedosov, véase la siguiente tesis de Philip Tillman de .

Se necesita el cierre de Hoschild de las cadenas de deformación para asegurar la asociatividad del producto estrella, ver el siguiente artículo de: McCurdy y Zumino (aunque se trata un caso especial, pero se aclara la relación entre cierre y asociatividad).

En la construcción de Kontsevich, las secciones deben ser globales, porque la construcción se realizó localmente para R d , y existe la necesidad de globalizar a una variedad general de Poisson.

Hice +1 en su respuesta, pero la cita del artículo de McCurdy y Zumino está incompleta... ¿quiso decir arxiv.org/abs/0910.0459 o algún otro artículo?
Gracias por la respuesta. Sin embargo, no pude entender su justificación por el hecho de considerar solo las secciones globales. Por ejemplo, cuando uno considera la deformación de variedades complejas, la deformación se realiza en cada gráfico, por lo tanto, la deformación se realiza en cada conjunto abierto (o me estoy perdiendo algo). También citó que algunos modelos físicos tratan con la expansión de Taylor con respecto a la constante de Planck, ¿podría mostrar un ejemplo?
@ user40276 - 1) He agregado algunos ejemplos de productos estrella conocidos explícitamente. 2) Considere, por ejemplo, campos vectoriales que se pueden realizar como operadores diferenciales en cada gráfico, pero no todos los conjuntos de operadores diferenciales definidos en cada gráfico son un campo vectorial. Sólo los casos en los que estos operadores diferenciales satisfacen las propiedades de transformación correctas en las superposiciones los convierten en campos vectoriales, es decir, cuando son secciones globales de T METRO .
Gracias por la información agregada y perdón por mi insistencia, pero no entiendo dónde está la física en tales modelos. Aparentemente todo es una especie de generalización de la cuantización de Weyl (corríjanme si me equivoco, por favor), así que tal vez debería hacer otra pregunta sobre la cuantización de Weyl.
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